Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} a^3 x + y + az = 1 \\ ax + a^2 y = a \end{cases}$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Discuta el sistema en función de los valores de $a$. [1,5 puntos]

b) Considere $a = 0$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

c) Considere $a = 2$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema en función de los valores de }\boldsymbol{a}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. El sistema tiene dos ecuaciones y tres incógnitas, así que ni la matriz de coeficientes ni la ampliada pueden pasar de rango dos y el sistema nunca podrá ser determinado.

$M=\begin{pmatrix}a^{3}&1&a\\ a&a^{2}&0\end{pmatrix},\qquad M^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}a^{3}&1&a&1\\ a&a^{2}&0&a\end{array}\right)$

El rango de $M$ vale dos en cuanto uno de sus tres menores de orden dos sea distinto de cero, de modo que los calculamos los tres.

$\begin{vmatrix}a^{3}&1\\ a&a^{2}\end{vmatrix}=a^{5}-a,\qquad \begin{vmatrix}a^{3}&a\\ a&0\end{vmatrix}=-a^{2},\qquad \begin{vmatrix}1&a\\ a^{2}&0\end{vmatrix}=-a^{3}$

El segundo y el tercero solo se anulan en $a=0$, así que ese es el único valor que puede hacer bajar el rango.

Si $a\neq0$, el menor $-a^{2}$ no es nulo y $\operatorname{ran}(M)=2$. La ampliada contiene a $M$ y tampoco puede pasar de dos, luego $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=2$, menor que el número de incógnitas.

Si $a=0$, las dos matrices quedan

$M=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&0\end{pmatrix},\qquad M^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}0&1&0&1\\ 0&0&0&0\end{array}\right)$

y ambas tienen rango uno, porque la segunda fila es entera de ceros.

El sistema es compatible indeterminado para todo valor de $a$: con un grado de libertad si $a\neq0$ y con dos grados de libertad si $a=0$.

$\textbf{b) Considere }\boldsymbol{a = 0}\textbf{. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]}$

Sustituimos $a=0$ en las dos ecuaciones del enunciado.

$\begin{cases}0\cdot x+y+0\cdot z=1\\ 0\cdot x+0\cdot y=0\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}y=1\\ 0=0\end{cases}$

La segunda ecuación no aporta información y la primera solo fija $y$, de manera que $x$ y $z$ quedan libres, como anticipaba el rango uno del apartado anterior.

$x=\lambda,\qquad y=1,\qquad z=\mu,\qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}$

La solución general es el conjunto de puntos $(\lambda,\,1,\,\mu)$, un plano de soluciones que depende de dos parámetros.

$\textbf{c) Considere }\boldsymbol{a = 2}\textbf{. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]}$

Sustituimos $a=2$ y simplificamos la segunda ecuación dividiéndola entre dos.

$\begin{cases}8x+y+2z=1\\ 2x+4y=2\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}8x+y+2z=1\\ x+2y=1\end{cases}$

Como el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, tomamos $y=\lambda$ como parámetro y despejamos las otras dos incógnitas. De la segunda ecuación sale $x$ directamente.

$x=1-2\lambda$

Llevamos ese valor a la primera ecuación y despejamos $z$.

$8(1-2\lambda)+\lambda+2z=1\Rightarrow 8-15\lambda+2z=1\Rightarrow z=\dfrac{15\lambda-7}{2}$

Comprobamos con $\lambda=1$: el punto $(-1,1,4)$ cumple $-8+1+8=1$ y $-2+4=2$.

La solución general es $x=1-2\lambda$, $y=\lambda$, $z=\dfrac{15\lambda-7}{2}$, con $\lambda\in\mathbb{R}$.