Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2026

En una estación de monitorización marina se registra el paso de una serie de olas que se desplazan hacia la costa. La ola se propaga según la ecuación:

$y(x,t) = 1{,}5\cdot\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{5}t - \dfrac{\pi}{78}x + \pi\right)$,

donde todas las magnitudes están expresadas en unidades del S.I. Calcule:

a) El periodo, la longitud de onda, la velocidad de propagación de las olas y la aceleración máxima de un objeto que flota sobre la superficie. (1 punto)

b) La energía cinética de dicho objeto, cuya masa es 1 g, en $x = 39\ \text{m}$ en el instante $t = 2{,}5\ \text{s}$. (1 punto)

c) Represente gráficamente la elongación del objeto frente al tiempo, cuando está situado en $x = 39\ \text{m}$, entre los instantes 0 y 20 s. (1 punto)

$\textbf{a) El periodo, la longitud de onda, la velocidad de propagación de las olas y la aceleración máxima de un objeto que flota sobre la superficie. (1 punto)}$

Comparando la ecuación del enunciado con la general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$, $y(x,t)=A\,\text{sen}(\omega t-kx+\varphi_0)$, se identifican sus parámetros.

$A=1{,}5\ \text{m}\ ,\qquad \omega=\dfrac{\pi}{5}\ \text{rad/s}\ ,\qquad k=\dfrac{\pi}{78}\ \text{rad/m}$

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{\pi/5}=10\ \text{s}$

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{\pi/78}=156\ \text{m}$

$v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{156}{10}=15{,}6\ \text{m/s}$

El objeto que flota no viaja con la onda: sube y baja con un movimiento armónico simple de la misma amplitud y la misma pulsación, de modo que su aceleración máxima es:

$a_{\max}=A\,\omega^2=1{,}5\cdot\left(\dfrac{\pi}{5}\right)^2=0{,}59\ \text{m/s}^2$

$\textbf{b) La energía cinética de dicho objeto, cuya masa es 1 g, en } \boldsymbol{x = 39\ \text{m}}\textbf{ en el instante } \boldsymbol{t = 2{,}5\ \text{s}}\textbf{. (1 punto)}$

La velocidad de oscilación del objeto es la derivada de la elongación respecto del tiempo, con $x$ fijo.

$v_y(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}=1{,}5\cdot\dfrac{\pi}{5}\cos\left(\dfrac{\pi}{5}t-\dfrac{\pi}{78}x+\pi\right)$

Se sustituyen la posición y el instante pedidos, empezando por la fase.

$\varphi=\dfrac{\pi}{5}\cdot 2{,}5-\dfrac{\pi}{78}\cdot 39+\pi=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}+\pi=\pi\ \text{rad}$

$v_y=1{,}5\cdot\dfrac{\pi}{5}\cos\pi=-0{,}942\ \text{m/s}$

$E_c=\dfrac{1}{2}m\,v_y^2=\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-3}\cdot(-0{,}942)^2$

$E_c=4{,}44\cdot 10^{-4}\ \text{J}$

En ese instante el objeto pasa por la posición de equilibrio, ya que $y=1{,}5\,\text{sen}\,\pi=0$, y por eso su velocidad es la máxima y toda su energía es cinética.

$\textbf{c) Represente gráficamente la elongación del objeto frente al tiempo, cuando está situado en } \boldsymbol{x = 39\ \text{m}}\textbf{, entre los instantes 0 y 20 s. (1 punto)}$

Se fija $x=39\ \text{m}$ en la ecuación de la onda y se simplifica la fase, con lo que queda una función solo del tiempo.

$y(t)=1{,}5\,\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{5}t-\dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=1{,}5\,\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{5}t+\dfrac{\pi}{2}\right)$

$y(t)=1{,}5\cos\left(\dfrac{\pi}{5}t\right)\ \text{m}$



Entre los instantes 0 y 20 s el objeto describe dos oscilaciones completas, ya que el periodo es de 10 s: parte de la cresta, $y=1{,}5\ \text{m}$, baja hasta el valle a los 5 s y regresa a la cresta a los 10 s.