Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2026

Un electrón es acelerado desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 2 kV en el sentido positivo del eje X.

a) Calcule el vector velocidad del electrón. (1 punto)

Tras esa aceleración, el electrón penetra en una región donde existe un campo magnético uniforme $\vec{B} = 100\,\vec{k}$ (G).

b) Determine el radio de la órbita que describe el electrón en centímetros y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa en nanosegundos. (1 punto)

c) Dibuje un esquema que incluya la trayectoria del electrón con los vectores velocidad, campo magnético y fuerza magnética en un punto de dicha trayectoria. Razone si la energía cinética del electrón cambia mientras se mueve dentro del campo. (1 punto)

Datos: $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $|q_e| = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $1\ \text{G} = 10^{-4}\ \text{T}$.

$\textbf{a) Calcule el vector velocidad del electrón. (1 punto)}$

El campo eléctrico que acelera al electrón es conservativo, así que el trabajo que realiza sobre él se invierte íntegramente en energía cinética. Partiendo del reposo:

$|q_e|\,\Delta V=\dfrac{1}{2}m_e\,v^2$

$v=\sqrt{\dfrac{2\,|q_e|\,\Delta V}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 2000}{9{,}11\cdot 10^{-31}}}$

$v=2{,}65\cdot 10^{7}\ \text{m/s}$

Como el electrón se mueve en el sentido positivo del eje $X$:

$\vec v=2{,}65\cdot 10^{7}\,\vec\imath\ \text{m/s}$

$\textbf{b) Determine el radio de la órbita que describe el electrón en centímetros y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa en nanosegundos. (1 punto)}$

Primero se pasa el campo a unidades del SI.

$B=100\ \text{G}=100\cdot 10^{-4}\ \text{T}=10^{-2}\ \text{T}$

La velocidad es perpendicular al campo, de modo que la fuerza magnética tiene módulo constante $|q_e|\,v\,B$ y hace de fuerza centrípeta.

$|q_e|\,v\,B=\dfrac{m_e\,v^2}{r}\ \Rightarrow\ r=\dfrac{m_e\,v}{|q_e|\,B}$

$r=\dfrac{9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 2{,}65\cdot 10^{7}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{-2}}=1{,}51\cdot 10^{-2}\ \text{m}=1{,}51\ \text{cm}$

El tiempo de una vuelta es el periodo del movimiento circular uniforme, que resulta independiente de la velocidad.

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\,m_e}{|q_e|\,B}=\dfrac{2\pi\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{-2}}$

$T=3{,}58\cdot 10^{-9}\ \text{s}=3{,}58\ \text{ns}$

$\textbf{c) Dibuje un esquema que incluya la trayectoria del electrón con los vectores velocidad, campo magnético y fuerza magnética en un punto de dicha trayectoria. Razone si la energía cinética del electrón cambia mientras se mueve dentro del campo. (1 punto)}$

El campo apunta en el sentido $+Z$, es decir, sale del plano $XY$, y la velocidad está contenida en ese plano, así que la trayectoria es una circunferencia contenida en el plano $XY$. La fuerza se obtiene del producto vectorial, teniendo en cuenta que la carga del electrón es negativa.

$\vec F=q_e\,(\vec v\times\vec B)=-|q_e|\,(v\,\vec\imath\times B\,\vec k)=+|q_e|\,v\,B\,\vec\jmath$



En el instante de entrada la fuerza apunta hacia el sentido positivo del eje $Y$: el centro de la circunferencia queda por encima del electrón y este la recorre en sentido antihorario.

La energía cinética no cambia. La fuerza magnética es en todo instante perpendicular a la velocidad, de modo que su trabajo es nulo:

$W=\int \vec F\cdot d\vec r=0\quad\text{porque}\quad \vec F\perp d\vec r$

y por el teorema de las fuerzas vivas, si el trabajo es nulo la energía cinética no varía. El campo magnético solo cambia la dirección de la velocidad, nunca su módulo.