Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Deduzca la expresión de la velocidad con la que hay que lanzar un satélite desde la superficie de la Tierra para ponerlo en órbita circular alrededor de la misma. (1 punto)

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$.

Se trata de calcular con qué velocidad hay que lanzar desde la superficie un satélite de masa $m$ para que acabe describiendo una órbita circular de radio $r$ alrededor de la Tierra. El razonamiento es energético: entre el lanzamiento y la órbita solo actúa la fuerza gravitatoria, que es conservativa, de modo que la energía mecánica se conserva.

$E_{\text{superficie}}=E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}$

En la superficie el satélite tiene la energía cinética del lanzamiento y la potencial correspondiente al radio terrestre.

$E_{\text{superficie}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}$

Para la energía en la órbita hay que saber cuánto vale allí la cinética. Se obtiene igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta, ya que es la que mantiene el movimiento circular.

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v_{\text{orb}}^2}{r}}\Rightarrow v_{\text{orb}}^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}$

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

Se igualan las dos energías y se despeja la velocidad de lanzamiento.

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}-{\displaystyle \frac{G{M}_T}{2r}}$

$v=\sqrt{2G{M}_T({\displaystyle \frac{1}{R_T}}-{\displaystyle \frac{1}{2r}})}$

Esa es la expresión pedida. Conviene comprobar los dos casos extremos: si la órbita es rasante, $r=R_T$, queda $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}}$, la velocidad orbital a ras de suelo; y si el radio de la órbita crece indefinidamente, $v$ tiende a $\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{R_T}}}$, que es la velocidad de escape. Toda velocidad de lanzamiento útil está entre esos dos valores.