Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Deduzca la tercera ley de Kepler. (1 punto)

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$.

La tercera ley de Kepler afirma que el cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo del radio medio de su órbita. Para deducirla se supone la órbita circular, que es una buena aproximación de las órbitas planetarias, y se aplica la dinámica del movimiento circular uniforme.



La única fuerza que actúa sobre el planeta de masa $m$ es la atracción gravitatoria del astro central de masa $M$, y por ser perpendicular a la velocidad hace de fuerza centrípeta.

$F_g=F_c$

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=m\,a_c=m\,\omega^2\,r$

La masa del planeta se simplifica, lo que ya adelanta que el resultado no depende de él sino solo del astro central.

$G\dfrac{M}{r^2}=\omega^2\,r$

Se sustituye la velocidad angular por su relación con el periodo, $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$.

$G\dfrac{M}{r^2}=\dfrac{4\pi^2}{T^2}\,r$

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$

Como $G$ y $M$ son constantes, el factor que acompaña a $r^3$ lo es también:

$\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}=\text{constante}$

Queda así demostrada la tercera ley de Kepler. La constante es la misma para todos los cuerpos que orbitan alrededor del mismo astro —los planetas del Sistema Solar, o los satélites de la Tierra—, pero cambia de un sistema a otro, porque depende de la masa central.