Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2026

Un cuerpo de 0,2 kg de masa que está sujeto a un muelle realiza un movimiento armónico simple según la ecuación $x(t) = 0{,}25\,\text{sen}(30t + \pi/2)$, estando $x$ en metros y $t$ en segundos.

a) Calcule la constante recuperadora del muelle y el periodo de las oscilaciones. Además, obtenga las expresiones de la velocidad y aceleración de la partícula en todo instante de tiempo a partir de la elongación $x(t)$ y calcule la velocidad y aceleración máximas de oscilación. (0,75 puntos)

b) Calcule la energía cinética y la energía potencial del sistema cada vez que la partícula pasa por el origen o punto de equilibrio y, también, cada vez que pasa por los puntos de máxima elongación o alargamiento del muelle. Justifique las expresiones usadas en su respuesta. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Calcule la constante recuperadora del muelle y el periodo de las oscilaciones. Además, obtenga las expresiones de la velocidad y aceleración de la partícula en todo instante de tiempo a partir de la elongación } \boldsymbol{x(t)}\textbf{ y calcule la velocidad y aceleración máximas de oscilación. (0,75 puntos)}$

Comparando la ecuación del enunciado con la general de un movimiento armónico simple, $x(t)=A\,\text{sen}(\omega t+\varphi_0)$, se leen directamente sus parámetros.

$A=0{,}25\ \text{m}\ ,\qquad \omega=30\ \text{rad/s}\ ,\qquad \varphi_0=\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

En un sistema masa-muelle la pulsación depende de la constante recuperadora y de la masa, $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$, de donde:

$k=m\,\omega^2=0{,}2\cdot 30^2=180\ \text{N/m}$

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{30}=0{,}209\ \text{s}$

La velocidad y la aceleración son la primera y la segunda derivada de la elongación respecto del tiempo.

$v(t)=\dfrac{dx}{dt}=0{,}25\cdot 30\,\cos\left(30t+\dfrac{\pi}{2}\right)=7{,}5\cos\left(30t+\dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{m/s}$

$a(t)=\dfrac{dv}{dt}=-0{,}25\cdot 30^2\,\text{sen}\left(30t+\dfrac{\pi}{2}\right)=-225\,\text{sen}\left(30t+\dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{m/s}^2$

Los valores máximos se alcanzan cuando el seno o el coseno valen $\pm 1$.

$v_{\max}=A\,\omega=7{,}5\ \text{m/s}\ ,\qquad a_{\max}=A\,\omega^2=225\ \text{m/s}^2$

$\textbf{b) Calcule la energía cinética y la energía potencial del sistema cada vez que la partícula pasa por el origen o punto de equilibrio y, también, cada vez que pasa por los puntos de máxima elongación o alargamiento del muelle. Justifique las expresiones usadas en su respuesta. (0,75 puntos)}$

Las dos energías del oscilador son la cinética, que depende de la velocidad, y la potencial elástica, que depende de la elongación:

$E_c=\dfrac{1}{2}m v^2\ ,\qquad E_p=\dfrac{1}{2}k x^2$

Al pasar por el punto de equilibrio la elongación es nula y la velocidad, máxima, de modo que toda la energía del sistema es cinética.

$E_c=\dfrac{1}{2}\cdot 0{,}2\cdot 7{,}5^2=5{,}625\ \text{J}\ ,\qquad E_p=\dfrac{1}{2}\cdot 180\cdot 0^2=0\ \text{J}$

En los extremos ocurre justo lo contrario: la partícula se detiene un instante para invertir el sentido del movimiento y la elongación es máxima, así que toda la energía es potencial.

$E_c=0\ \text{J}\ ,\qquad E_p=\dfrac{1}{2}\cdot 180\cdot 0{,}25^2=5{,}625\ \text{J}$

En ambas posiciones la energía mecánica total vale lo mismo, $E=5{,}625\ \text{J}$, como corresponde a un sistema en el que solo actúa la fuerza elástica, que es conservativa: la energía se traspasa continuamente de cinética a potencial y al revés, pero su suma no cambia.