Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Un microsatélite de masa 50 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra con un período orbital de 5710 s.

a) Calcule la altura a la que orbita el microsatélite y la energía necesaria para ponerlo en dicha órbita desde la superficie de la Tierra. (1,5 puntos)

b) Calcule la energía necesaria para llevar el microsatélite a una órbita cuyo radio sea el doble del radio inicial. (1 punto)

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) Calcule la altura a la que orbita el microsatélite y la energía necesaria para ponerlo en dicha órbita desde la superficie de la Tierra. (1,5 puntos)}$

En una órbita circular la única fuerza que actúa sobre el satélite es la atracción gravitatoria de la Tierra, que hace de fuerza centrípeta. Igualando ambas se obtiene la relación entre el radio de la órbita y el periodo, que es la tercera ley de Kepler.



$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\,\omega^2 r=m\,\dfrac{4\pi^2}{T^2}\,r$

$r^3=\dfrac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 5710^2}{4\pi^2}}=6{,}91\cdot 10^{6}\ \text{m}$

La altura sobre la superficie es lo que ese radio excede al radio terrestre.

$h=r-R_T=6{,}91\cdot 10^{6}-6{,}37\cdot 10^{6}=5{,}36\cdot 10^{5}\ \text{m}=536\ \text{km}$

La energía necesaria para ponerlo en órbita es la diferencia entre la energía mecánica que tiene en la órbita y la que tiene en reposo sobre la superficie. En una órbita circular la energía cinética vale la mitad del valor absoluto de la potencial, de modo que la energía total es la mitad de la potencial.

$E_{\text{órbita}}=E_c+E_p=\dfrac{1}{2}\dfrac{G M_T m}{r}-\dfrac{G M_T m}{r}=-\dfrac{G M_T m}{2r}$

$E_{\text{superficie}}=-\dfrac{G M_T m}{R_T}$

$\Delta E=G M_T m\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{2r}\right)$

$\Delta E=6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 50\left(\dfrac{1}{6{,}37\cdot 10^{6}}-\dfrac{1}{2\cdot 6{,}91\cdot 10^{6}}\right)$

$\Delta E=1{,}69\cdot 10^{9}\ \text{J}$

El microsatélite orbita a unos 536 km de altura y hacen falta $1{,}69\cdot 10^{9}\ \text{J}$ para llevarlo hasta esa órbita desde la superficie terrestre.

$\textbf{b) Calcule la energía necesaria para llevar el microsatélite a una órbita cuyo radio sea el doble del radio inicial. (1 punto)}$

La energía que hay que aportar es la diferencia entre la energía mecánica en la órbita final y la que tenía en la inicial. En ambas órbitas la energía total es la mitad de la potencial, cambiada de signo respecto de la cinética.

$E_1=-\dfrac{G M_T m}{2r}\ ,\qquad E_2=-\dfrac{G M_T m}{2\,(2r)}=-\dfrac{G M_T m}{4r}$

$\Delta E=E_2-E_1=-\dfrac{G M_T m}{4r}+\dfrac{G M_T m}{2r}=\dfrac{G M_T m}{4r}$

$\Delta E=\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 50}{4\cdot 6{,}91\cdot 10^{6}}$

$\Delta E=7{,}22\cdot 10^{8}\ \text{J}$

Hay que aportar $7{,}22\cdot 10^{8}\ \text{J}$ para duplicar el radio de la órbita. Conviene notar que en la órbita alta el satélite se mueve más despacio: se gana energía potencial mucho más de lo que se pierde de cinética.