Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Un microsatélite de masa 50 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra con un período orbital de 5710 s.

a) Calcule la altura a la que orbita el microsatélite y la energía necesaria para ponerlo en dicha órbita desde la superficie de la Tierra. (1,5 puntos)

b) Calcule la velocidad, la aceleración centrípeta, la energía cinética y la energía total del microsatélite en dicha órbita. (1 punto)

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) Calcule la altura a la que orbita el microsatélite y la energía necesaria para ponerlo en dicha órbita desde la superficie de la Tierra. (1,5 puntos)}$

En una órbita circular la única fuerza que actúa sobre el satélite es la atracción gravitatoria de la Tierra, que hace de fuerza centrípeta. Igualando ambas se obtiene la relación entre el radio de la órbita y el periodo, que es la tercera ley de Kepler.



$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\,\omega^2 r=m\,\dfrac{4\pi^2}{T^2}\,r$

$r^3=\dfrac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 5710^2}{4\pi^2}}=6{,}91\cdot 10^{6}\ \text{m}$

La altura sobre la superficie es lo que ese radio excede al radio terrestre.

$h=r-R_T=6{,}91\cdot 10^{6}-6{,}37\cdot 10^{6}=5{,}36\cdot 10^{5}\ \text{m}=536\ \text{km}$

La energía necesaria para ponerlo en órbita es la diferencia entre la energía mecánica que tiene en la órbita y la que tiene en reposo sobre la superficie. En una órbita circular la energía cinética vale la mitad del valor absoluto de la potencial, de modo que la energía total es la mitad de la potencial.

$E_{\text{órbita}}=E_c+E_p=\dfrac{1}{2}\dfrac{G M_T m}{r}-\dfrac{G M_T m}{r}=-\dfrac{G M_T m}{2r}$

$E_{\text{superficie}}=-\dfrac{G M_T m}{R_T}$

$\Delta E=G M_T m\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{2r}\right)$

$\Delta E=6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 50\left(\dfrac{1}{6{,}37\cdot 10^{6}}-\dfrac{1}{2\cdot 6{,}91\cdot 10^{6}}\right)$

$\Delta E=1{,}69\cdot 10^{9}\ \text{J}$

El microsatélite orbita a unos 536 km de altura y hacen falta $1{,}69\cdot 10^{9}\ \text{J}$ para llevarlo hasta esa órbita desde la superficie terrestre.

$\textbf{b) Calcule la velocidad, la aceleración centrípeta, la energía cinética y la energía total del microsatélite en dicha órbita. (1 punto)}$

La velocidad orbital sale de la misma igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta, escrita ahora con la velocidad lineal.

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\,\dfrac{v^2}{r}\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\dfrac{G M_T}{r}}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{6{,}91\cdot 10^{6}}}=7{,}60\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

La aceleración centrípeta es la que produce el campo gravitatorio a esa distancia.

$a_c=\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{G M_T}{r^2}=\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{\left(6{,}91\cdot 10^{6}\right)^2}=8{,}36\ \text{m/s}^2$

$E_c=\dfrac{1}{2}m v^2=\dfrac{1}{2}\cdot 50\cdot\left(7{,}60\cdot 10^{3}\right)^2=1{,}44\cdot 10^{9}\ \text{J}$

$E=-\dfrac{G M_T m}{2r}=-1{,}44\cdot 10^{9}\ \text{J}$

El satélite recorre su órbita a $7{,}60\ \text{km/s}$ con una aceleración centrípeta de $8{,}36\ \text{m/s}^2$. Su energía cinética es $1{,}44\cdot 10^{9}\ \text{J}$ y su energía total, la misma cantidad pero negativa, como corresponde a un estado ligado.