Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

El Consejo Escolar de Canarias organiza una reunión de organizaciones estudiantiles en la que participan un total de 240 estudiantes elegidos entre los niveles de Primaria, ESO y el Bachillerato. El número de estudiantes de primaria es la quinta parte del resto y por cada 3 estudiantes de ESO hay 2 de Bachillerato.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones. [1,5 puntos]

b) ¿Cuántos estudiantes de cada nivel asisten a la reunión? [1 punto]

c) Para trasladar al alumnado al encuentro se ha acordado con una empresa de guaguas la siguiente lista de precios: cada persona de la ESO paga una tarifa de 2.50 euros; los de Bachillerato pagan un 50% más que los de la ESO; y los de Primaria tienen un descuento del 20% sobre el precio que pagan los de la ESO. De los que van a la reunión sólo irán en guagua 25 estudiantes de primaria, 80 de la ESO y 50 estudiantes de Bachillerato. ¿Cuánto habrá que pagar en total? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones. [1,5 puntos]}$

Llamamos:

$x \equiv$ número de estudiantes de Primaria

$y \equiv$ número de estudiantes de la ESO

$z \equiv$ número de estudiantes de Bachillerato

La primera ecuación recoge que en total participan 240 estudiantes.

$x+y+z=240$

La segunda dice que los de Primaria son la quinta parte del resto, es decir, de los de la ESO y Bachillerato juntos.

$x=\dfrac{y+z}{5}\ \Rightarrow\ 5x-y-z=0$

La tercera traduce la proporción de 3 estudiantes de la ESO por cada 2 de Bachillerato.

$\dfrac{y}{z}=\dfrac{3}{2}\ \Rightarrow\ 2y-3z=0$

El sistema es:

$\left.\begin{array}{r} x+y+z=240 \\ 5x-y-z=0 \\ 2y-3z=0 \end{array}\right\}$

$\textbf{b) ¿Cuántos estudiantes de cada nivel asisten a la reunión? [1 punto]}$

Sumando las dos primeras ecuaciones desaparecen a la vez $y$ y $z$.

$6x=240\ \Rightarrow\ x=40$

Con ese valor, la primera ecuación deja la suma de los otros dos niveles.

$y+z=240-40=200$

De la tercera se despeja $y$ en función de $z$ y se sustituye.

$y=\dfrac{3z}{2}\ \Rightarrow\ \dfrac{3z}{2}+z=200\ \Rightarrow\ \dfrac{5z}{2}=200$

$z=80\ ,\qquad y=\dfrac{3\cdot 80}{2}=120$

A la reunión asisten 40 estudiantes de Primaria, 120 de la ESO y 80 de Bachillerato. Se comprueban las tres condiciones: suman 240, los de Primaria son la quinta parte de $120+80=200$, y $\dfrac{120}{80}=\dfrac{3}{2}$.

$\textbf{c) Para trasladar al alumnado al encuentro se ha acordado con una empresa de guaguas la siguiente lista de precios: cada persona de la ESO paga una tarifa de 2.50 euros; los de Bachillerato pagan un 50\% más que los de la ESO; y los de Primaria tienen un descuento del 20\% sobre el precio que pagan los de la ESO. De los que van a la reunión sólo irán en guagua 25 estudiantes de primaria, 80 de la ESO y 50 estudiantes de Bachillerato. ¿Cuánto habrá que pagar en total? [0,5 puntos]}$

Primero se calculan las tres tarifas a partir de la de la ESO.

$\text{ESO}: 2{,}50\ \text{€}$

$\text{Bachillerato}: 2{,}50\cdot 1{,}50=3{,}75\ \text{€}$

$\text{Primaria}: 2{,}50\cdot 0{,}80=2{,}00\ \text{€}$

Después se multiplica cada tarifa por el número de estudiantes que viajan en guagua y se suma.

$25\cdot 2{,}00+80\cdot 2{,}50+50\cdot 3{,}75$

$=50+200+187{,}50=437{,}50$

El transporte de los 155 estudiantes que viajan en guagua costará $437{,}50\ \text{€}$ en total.