Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Estudios recientes indican que en Canarias el salario mensual de los jóvenes de entre 25 y 35 años sigue aproximadamente una distribución normal con una media de 1236€ y una desviación típica de 254€.

a) Se seleccionan aleatoriamente para una entrevista 121 jóvenes canarios de ese rango de edad. ¿Cuál es la probabilidad de que su salario medio supere los 1300€? ¿Cuál es el número esperado de jóvenes en esa muestra cuyo salario supera los 1300€? [1 punto]

b) Solo se emancipan de su hogar familiar aquellos jóvenes que ganan al menos 1500€. Suponiendo que la desviación típica se mantiene igual, ¿cuánto debería subir el salario medio mensual para que al menos el 75% de los jóvenes ganen lo suficiente para emanciparse? [1 punto]

Llamamos $X$ al salario mensual, en euros, de un joven canario de entre 25 y 35 años. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(1236\,;\,254)$

$\textbf{a) Se seleccionan aleatoriamente para una entrevista 121 jóvenes canarios de ese rango de edad. ¿Cuál es la probabilidad de que su salario medio supere los 1300€? ¿Cuál es el número esperado de jóvenes en esa muestra cuyo salario supera los 1300€? [1 punto]}$

La primera pregunta es sobre la media de la muestra, que se distribuye con la misma media pero con desviación típica dividida entre la raíz del tamaño.

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=N\left(1236\,;\,\dfrac{254}{\sqrt{121}}\right)=N(1236\,;\,23{,}09)$

$P(\bar{X}>1300)=P\left(Z>\dfrac{1300-1236}{23{,}09}\right)=P(Z>2{,}77)$

$=1-\Phi(2{,}77)=1-0{,}9972=0{,}0028$



La segunda pregunta ya no es sobre la media del grupo, sino sobre cada joven por separado, así que se trabaja con la distribución original.

$P(X>1300)=P\left(Z>\dfrac{1300-1236}{254}\right)=P(Z>0{,}25)$

$=1-\Phi(0{,}25)=1-0{,}5987=0{,}4013$

$121\cdot 0{,}4013=48{,}56$

La probabilidad de que el salario medio de los 121 entrevistados supere los 1300 € es solo de $0{,}0028$, un $0{,}28\ \%$, mientras que individualmente lo supera el $40{,}13\ \%$: se esperan unos 49 jóvenes de la muestra por encima de esa cifra. La diferencia se explica porque promediar 121 salarios reduce muchísimo la dispersión.

$\textbf{b) Solo se emancipan de su hogar familiar aquellos jóvenes que ganan al menos 1500€. Suponiendo que la desviación típica se mantiene igual, ¿cuánto debería subir el salario medio mensual para que al menos el 75\% de los jóvenes ganen lo suficiente para emanciparse? [1 punto]}$

Se busca la nueva media $\mu'$ que deja al menos el $75\ \%$ de los salarios por encima de 1500 €, manteniendo $\sigma=254$.

$P(X\ge 1500)\ge 0{,}75\ \Longleftrightarrow\ P\left(Z\ge\dfrac{1500-\mu'}{254}\right)\ge 0{,}75$

$P\left(Z<\dfrac{1500-\mu'}{254}\right)\le 0{,}25$

El valor buscado de $z$ es negativo. Por simetría se busca en la tabla el que deja a su izquierda $0{,}75$: el primero que lo alcanza es $\Phi(0{,}68)=0{,}7517$, luego el punto de corte tipificado ha de ser $-0{,}68$ o menor.

$\dfrac{1500-\mu'}{254}\le -0{,}68\ \Rightarrow\ \mu'\ge 1500+0{,}68\cdot 254$

$\mu'\ge 1672{,}72$



$1672{,}72-1236=436{,}72$

El salario medio mensual debería subir en unos $436{,}72\ \text{€}$, hasta los $1672{,}72\ \text{€}$, para que al menos tres de cada cuatro jóvenes ganasen lo suficiente para emanciparse.