Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Una empresa de logística tiene una sección en cada una de las provincias de las Islas Canarias. Se han estudiado los beneficios de cada una de las secciones en los últimos 21 años y se ha encontrado que siguen las funciones siguientes, donde $t$ se mide en años y el beneficio se expresa en millones de euros:

$B_1(t) = t^3 - 30t^2 + 225t + 150$ para la sección de Santa Cruz de Tenerife

$B_2(t) = -2t^2 + 38t + 150$ para la sección de Las Palmas.

a) Haciendo uso de la derivada, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios obtenidos por la delegación de Santa Cruz de Tenerife. [1 punto]

b) ¿Cuándo se produjeron los beneficios mínimo y máximo absolutos de la delegación de Tenerife? ¿Cuáles fueron sus importes? [0,75 puntos]

c) ¿En qué periodo los beneficios de la provincia de Las Palmas superaron los 290 millones de euros? [0,5 puntos]

d) ¿En qué momento el beneficio fue el mismo en ambas provincias y cuál fue su valor? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Haciendo uso de la derivada, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios obtenidos por la delegación de Santa Cruz de Tenerife. [1 punto]}$

El estudio abarca los 21 últimos años, así que se trabaja en el intervalo $[0,21]$. El crecimiento lo decide el signo de la derivada primera de $B_1$.

$B_1'(t)=3t^2-60t+225=3\,(t^2-20t+75)$

$t^2-20t+75=0\ \Rightarrow\ t=\dfrac{20\pm\sqrt{400-300}}{2}=\dfrac{20\pm 10}{2}$

$t=5\ ,\qquad t=15$

$B_1'(t)=3\,(t-5)(t-15)$



Los beneficios de la delegación de Santa Cruz de Tenerife crecen en $(0,5)$, decrecen en $(5,15)$ y vuelven a crecer en $(15,21)$. Hay, por tanto, un máximo relativo en $t=5$ y un mínimo relativo en $t=15$.

$\textbf{b) ¿Cuándo se produjeron los beneficios mínimo y máximo absolutos de la delegación de Tenerife? ¿Cuáles fueron sus importes? [0,75 puntos]}$

Al tratarse de una función continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los extremos relativos y los bordes del intervalo, así que se evalúa la función en los cuatro valores.

$B_1(0)=150$

$B_1(5)=125-750+1125+150=650$

$B_1(15)=3375-6750+3375+150=150$

$B_1(21)=9261-13\,230+4725+150=906$

El beneficio máximo absoluto se produjo al final del periodo, en $t=21$ años, y fue de 906 millones de euros. El mínimo absoluto vale 150 millones y se alcanza en dos momentos distintos: al principio del estudio, $t=0$, y de nuevo a los 15 años, cuando la caída del segundo tramo devuelve el beneficio exactamente a su valor inicial.

$\textbf{c) ¿En qué periodo los beneficios de la provincia de Las Palmas superaron los 290 millones de euros? [0,5 puntos]}$

Se plantea la inecuación con la función de la segunda delegación.

$-2t^2+38t+150>290\ \Rightarrow\ -2t^2+38t-140>0$

Dividiendo entre $-2$, lo que invierte el sentido de la desigualdad:

$t^2-19t+70<0$

$t=\dfrac{19\pm\sqrt{361-280}}{2}=\dfrac{19\pm 9}{2}\ \Rightarrow\ t=5\ ,\quad t=14$

La parábola $t^2-19t+70$ tiene las ramas hacia arriba, de modo que es negativa entre sus dos raíces. Los beneficios de la delegación de Las Palmas superaron los 290 millones de euros entre el quinto y el decimocuarto año del estudio.

$\textbf{d) ¿En qué momento el beneficio fue el mismo en ambas provincias y cuál fue su valor? [0,75 puntos]}$

Que el beneficio coincida significa igualar las dos funciones y resolver la ecuación resultante.

$t^3-30t^2+225t+150=-2t^2+38t+150$

$t^3-28t^2+187t=0\ \Rightarrow\ t\,(t^2-28t+187)=0$

$t=0\quad\text{o}\quad t=\dfrac{28\pm\sqrt{784-748}}{2}=\dfrac{28\pm 6}{2}$

$t=0\ ,\qquad t=11\ ,\qquad t=17$

Las tres soluciones pertenecen al periodo estudiado. Se calcula el beneficio común en cada una de ellas.

$B_1(0)=B_2(0)=150$

$B_1(11)=1331-3630+2475+150=326$

$B_1(17)=4913-8670+3825+150=218$



Las dos delegaciones obtuvieron el mismo beneficio en tres momentos: al comienzo del estudio, con 150 millones de euros; a los 11 años, con 326 millones, y a los 17 años, con 218 millones.