Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

En un instituto se hace una encuesta a todos los alumnos de dos clases (50 estudiantes) y resulta que 39 de ellos no tienen ni hermanos ni hermanas.

a) A partir de esa muestra, calcula un intervalo de confianza al 98% para la proporción de estudiantes que son hijos únicos. [1 punto]

b) ¿Nos basta esa muestra para calcular la proporción de hijos únicos con un error menor de 0,05? Razona tu respuesta y si es negativa, calcula el tamaño que debería tener. [1 punto]

$\textbf{a) A partir de esa muestra, calcula un intervalo de confianza al 98\% para la proporción de estudiantes que son hijos únicos. [1 punto]}$

De los 50 estudiantes encuestados, 39 no tienen hermanos ni hermanas, así que la proporción muestral de hijos únicos es:

$\hat{p}=\dfrac{39}{50}=0{,}78\ ,\qquad \hat{q}=1-\hat{p}=0{,}22$

Para una confianza del $98\ \%$ se tiene $\alpha=0{,}02$ y $\dfrac{\alpha}{2}=0{,}01$, de donde $z_{\alpha/2}=2{,}33$, valor que deja a su izquierda $0{,}99$.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}=2{,}33\sqrt{\dfrac{0{,}78\cdot 0{,}22}{50}}=2{,}33\cdot 0{,}0586=0{,}1365$

$IC_{98\ \%}(p)=\left(\hat{p}-E,\ \hat{p}+E\right)=(0{,}78-0{,}1365\,;\ 0{,}78+0{,}1365)$

$IC_{98\ \%}(p)=(0{,}6435\,;\ 0{,}9165)$

Con una confianza del $98\ \%$, la proporción de estudiantes que son hijos únicos está entre el $64{,}35\ \%$ y el $91{,}65\ \%$. El intervalo es muy ancho, señal de que la muestra se queda corta.

$\textbf{b) ¿Nos basta esa muestra para calcular la proporción de hijos únicos con un error menor de 0,05? Razona tu respuesta y si es negativa, calcula el tamaño que debería tener. [1 punto]}$

El error de la estimación con la muestra disponible es la semiamplitud calculada en el apartado anterior.

$E=0{,}1365>0{,}05$

La muestra de 50 estudiantes no basta: su error casi triplica el máximo admitido. Para saber cuántos harían falta se despeja $n$ de la fórmula del error, manteniendo la misma confianza del $98\ \%$ y la proporción observada.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}\ \Rightarrow\ n=\dfrac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot\hat{p}\,\hat{q}}{E^{2}}$

$n=\dfrac{2{,}33^{2}\cdot 0{,}78\cdot 0{,}22}{0{,}05^{2}}=\dfrac{5{,}4289\cdot 0{,}1716}{0{,}0025}=372{,}64$

Como el tamaño ha de ser entero y el error no puede pasar de $0{,}05$, se redondea al alza: harían falta al menos 373 estudiantes encuestados, más de siete veces los que se han encuestado.