Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una empresa informática fabrica placas base de tres categorías: Lite, Estándar y Gaming. El coste de producción por unidad de cada categoría es de 50, 80 y 110 euros respectivamente, con precios de venta al público (antes de impuestos) de 75, 120 y 190 euros. Un cliente ha realizado un pedido que incluye placas de las tres categorías, y en el que las placas Gaming representan una quinta parte del total. La empresa ha gastado un total de 12 350€ en la fabricación de este pedido. Por su parte, el cliente ha pagado 20 758 €, cantidad que incluye el precio de venta más el 7% de IGIC aplicado sobre dicho precio.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para encontrar la composición del pedido. [1,5 puntos]

b) ¿Cuántas placas de cada tipo incluye el pedido? [1 punto]

c) La mano de obra supone un 70% del coste de fabricación de las placas. Del importe destinado a mano de obra, el 15 % se retiene e ingresa en Hacienda en concepto de IRPF de los trabajadores. Asimismo, el impuesto sobre sociedades asciende al 23 % del importe de los beneficios obtenidos en esta operación (precio de venta sin IGIC menos coste). Determina el importe total de los tributos asociados a esta operación (IGIC + IRPF retenido + Impuesto de Sociedades) y calcula qué porcentaje representa sobre la cantidad final pagada por el cliente. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones para encontrar la composición del pedido. [1,5 puntos]}$

Llamamos:

$x \equiv$ número de placas Lite del pedido

$y \equiv$ número de placas Estándar del pedido

$z \equiv$ número de placas Gaming del pedido

La primera condición dice que las Gaming son la quinta parte del total del pedido.

$z=\dfrac{x+y+z}{5}\ \Rightarrow\ 5z=x+y+z\ \Rightarrow\ x+y-4z=0$

La segunda recoge el gasto de fabricación, con los costes unitarios de 50, 80 y 110 euros.

$50x+80y+110z=12\,350$

La tercera es lo pagado por el cliente. Como los $20\,758\ \text{€}$ incluyen el $7\ \%$ de IGIC sobre el precio de venta, ese importe es el $107\ \%$ de la venta y conviene descontarlo antes de plantear la ecuación.

$1{,}07\,(75x+120y+190z)=20\,758\ \Rightarrow\ 75x+120y+190z=\dfrac{20\,758}{1{,}07}=19\,400$

El sistema que resuelve el problema es, por tanto:

$\left.\begin{array}{r} x+y-4z=0 \\ 50x+80y+110z=12\,350 \\ 75x+120y+190z=19\,400 \end{array}\right\}$

$\textbf{b) ¿Cuántas placas de cada tipo incluye el pedido? [1 punto]}$

Se resuelve por reducción. Dividiendo entre 10 la segunda ecuación y entre 5 la tercera, el sistema queda con números más manejables.

$\left.\begin{array}{r} x+y-4z=0 \\ 5x+8y+11z=1235 \\ 15x+24y+38z=3880 \end{array}\right\}$

Se multiplica la segunda por 3 y se resta de la tercera, con lo que desaparecen a la vez $x$ e $y$.

$(15x+24y+38z)-3\,(5x+8y+11z)=3880-3705\ \Rightarrow\ 5z=175$

$z=35$

Se lleva ese valor a la primera y a la segunda ecuación.

$x+y=4\cdot 35=140$

$5x+8y=1235-11\cdot 35=850$

$5\,(140-y)+8y=850\ \Rightarrow\ 3y=150\ \Rightarrow\ y=50$

$x=140-50=90$

El pedido consta de 90 placas Lite, 50 Estándar y 35 Gaming, 175 en total. Se comprueba que las Gaming son la quinta parte, $\dfrac{35}{175}=\dfrac{1}{5}$, y que el coste de fabricación es el del enunciado: $50\cdot 90+80\cdot 50+110\cdot 35=12\,350\ \text{€}$.

$\textbf{c) La mano de obra supone un 70\% del coste de fabricación de las placas. Del importe destinado a mano de obra, el 15 \% se retiene e ingresa en Hacienda en concepto de IRPF de los trabajadores. Asimismo, el impuesto sobre sociedades asciende al 23 \% del importe de los beneficios obtenidos en esta operación (precio de venta sin IGIC menos coste). Determina el importe total de los tributos asociados a esta operación (IGIC + IRPF retenido + Impuesto de Sociedades) y calcula qué porcentaje representa sobre la cantidad final pagada por el cliente. [0,5 puntos]}$

Se calculan los tres tributos por separado. El IGIC es la diferencia entre lo pagado por el cliente y el precio de venta sin impuestos.

$\text{IGIC}=20\,758-19\,400=1358\ \text{€}$

El IRPF retenido es el $15\ \%$ de la parte del coste que va a mano de obra.

$\text{Mano de obra}=0{,}70\cdot 12\,350=8645\ \text{€}$

$\text{IRPF}=0{,}15\cdot 8645=1296{,}75\ \text{€}$

El impuesto de sociedades es el $23\ \%$ del beneficio, que es la venta sin IGIC menos el coste de fabricación.

$\text{Beneficio}=19\,400-12\,350=7050\ \text{€}$

$\text{Sociedades}=0{,}23\cdot 7050=1621{,}50\ \text{€}$

$\text{Total}=1358+1296{,}75+1621{,}50=4276{,}25\ \text{€}$

$\dfrac{4276{,}25}{20\,758}\cdot 100=20{,}60\ \%$

Los tributos asociados a la operación suman $4276{,}25\ \text{€}$, que representan el $20{,}60\ \%$ de la cantidad final pagada por el cliente.