Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Durante los primeros meses de 2026 las Islas Canarias registraron un número de días con lluvia superior a lo habitual, lo que dio lugar al desbordamiento del 40% de las presas y embalses situadas en los barrancos de las islas.

a) En la provincia de Santa Cruz de Tenerife hay registradas un total de 90 presas/embalses. Si el año que viene vuelve a llover como este año, ¿cuál es la probabilidad de que se desborden entre 30 y 40 presas/embalses? [1 punto]

b) Aparte de las presas/embalses, las islas cuentan con numerosos estanques de tamaño mediano donde se recoge agua para uso agrícola. En una muestra aleatoria de 200 estanques se encontró que 54 de ellos se habían llenado este año hasta su capacidad máxima. Estima la proporción de estanques que no alcanzaron su capacidad máxima este año utilizando un intervalo de confianza al 99%. [1 punto]

$\textbf{a) En la provincia de Santa Cruz de Tenerife hay registradas un total de 90 presas/embalses. Si el año que viene vuelve a llover como este año, ¿cuál es la probabilidad de que se desborden entre 30 y 40 presas/embalses? [1 punto]}$

Llamamos $X$ al número de presas que se desbordan de las 90 registradas. Cada una se desborda o no con la misma probabilidad, $p=0{,}4$, y con independencia de las demás:

$X\sim B(n,p)=B(90\,;\,0{,}4)$

Como $np=36>5$ y $nq=54>5$, la binomial se aproxima por una normal de la misma media y la misma desviación típica.

$\mu=np=90\cdot 0{,}4=36$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{90\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}=\sqrt{21{,}6}\approx 4{,}65$

$X'\sim N(36\,;\,4{,}65)$

Al pasar de la variable discreta a la continua se aplica la corrección por continuidad, ensanchando el intervalo media unidad por cada lado.

$P(30\le X\le 40)\approx P(29{,}5<X'<40{,}5)$

$=P\left(\dfrac{29{,}5-36}{4{,}65}<Z<\dfrac{40{,}5-36}{4{,}65}\right)=P(-1{,}40<Z<0{,}97)$

$=\Phi(0{,}97)-\left[1-\Phi(1{,}40)\right]=0{,}8340-(1-0{,}9192)$

$=0{,}8340-0{,}0808=0{,}7532$



La probabilidad de que se desborden entre 30 y 40 presas o embalses es $0{,}7532$, esto es, un $75{,}32\ \%$.

$\textbf{b) Aparte de las presas/embalses, las islas cuentan con numerosos estanques de tamaño mediano donde se recoge agua para uso agrícola. En una muestra aleatoria de 200 estanques se encontró que 54 de ellos se habían llenado este año hasta su capacidad máxima. Estima la proporción de estanques que no alcanzaron su capacidad máxima este año utilizando un intervalo de confianza al 99\%. [1 punto]}$

Se pregunta por los estanques que no llegaron a llenarse, que son los $200-54=146$ restantes de la muestra. Esa es la proporción muestral que hay que usar.

$\hat{p}=\dfrac{146}{200}=0{,}73\ ,\qquad \hat{q}=1-\hat{p}=0{,}27$

Para una confianza del $99\ \%$ se tiene $z_{\alpha/2}=2{,}575$, valor que deja a su izquierda $0{,}995$.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}=2{,}575\sqrt{\dfrac{0{,}73\cdot 0{,}27}{200}}=2{,}575\cdot 0{,}0314=0{,}0808$

$IC_{99\ \%}(p)=\left(\hat{p}-E,\ \hat{p}+E\right)=(0{,}73-0{,}0808\,;\ 0{,}73+0{,}0808)$

$IC_{99\ \%}(p)=(0{,}6492\,;\ 0{,}8108)$

Con una confianza del $99\ \%$, la proporción de estanques que no alcanzaron su capacidad máxima está entre el $64{,}92\ \%$ y el $81{,}08\ \%$.