Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos ha realizado un estudio que indica que la duración media de las baterías se encuentra entre 171 y 201 minutos, con una confianza del 98%. Además, de acuerdo con los datos técnicos del fabricante, la desviación típica de la duración de las baterías es de 42,7 minutos.

a) Calcula el tamaño de la muestra utilizada. [0,75 puntos]

b) Para tener más información la empresa decide hacer un nuevo estudio. Para ello escoge una muestra de 50 patinetes, obteniendo una duración media de 190 minutos. Suponiendo que se mantiene la desviación típica dada por el fabricante, calcula el nuevo intervalo de confianza para la duración media de las baterías con una confianza del 95%. [0,75 puntos]

c) Si suponemos que la media poblacional coincide con el valor medio del apartado anterior, calcula la probabilidad de que la duración media de las baterías de una muestra de 50 patinetes supere las 3 horas. [0,5 puntos]

Llamamos $X$ a la duración, en minutos, de la batería de un patinete. El fabricante da la desviación típica poblacional, $\sigma=42{,}7$, de modo que la media muestral se distribuye según:

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$\textbf{a) Calcula el tamaño de la muestra utilizada. [0,75 puntos]}$

El intervalo de confianza está centrado en la media muestral, así que su semiamplitud es el error máximo admisible.

$E=\dfrac{201-171}{2}=15\ \text{minutos}$

Para una confianza del $98\ \%$ se tiene $\alpha=0{,}02$ y $\dfrac{\alpha}{2}=0{,}01$, luego $z_{\alpha/2}=2{,}33$, que es el valor que deja a su izquierda $0{,}99$.

$E=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \Rightarrow\ \sqrt{n}=\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}$

$n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^{2}=\left(\dfrac{2{,}33\cdot 42{,}7}{15}\right)^{2}=\left(6{,}6329\right)^{2}=43{,}99$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número entero y el error no puede superar los 15 minutos, se toma el entero inmediatamente superior. La muestra utilizada en el estudio fue de $n=44$ patinetes.

$\textbf{b) Para tener más información la empresa decide hacer un nuevo estudio. Para ello escoge una muestra de 50 patinetes, obteniendo una duración media de 190 minutos. Suponiendo que se mantiene la desviación típica dada por el fabricante, calcula el nuevo intervalo de confianza para la duración media de las baterías con una confianza del 95\%. [0,75 puntos]}$

Ahora la confianza es del $95\ \%$, con lo que $z_{\alpha/2}=1{,}96$, el valor que deja a su izquierda $0{,}975$. Los datos de la nueva muestra son $\bar{x}=190$ y $n=50$.

$E=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{42{,}7}{\sqrt{50}}=1{,}96\cdot 6{,}0387=11{,}8358$

$IC_{95\ \%}(\mu)=\left(\bar{x}-E,\ \bar{x}+E\right)=(190-11{,}8358\,;\ 190+11{,}8358)$

$IC_{95\ \%}(\mu)=(178{,}16\,;\ 201{,}84)$

Con una confianza del $95\ \%$, la duración media de las baterías está entre $178{,}16$ y $201{,}84$ minutos.

$\textbf{c) Si suponemos que la media poblacional coincide con el valor medio del apartado anterior, calcula la probabilidad de que la duración media de las baterías de una muestra de 50 patinetes supere las 3 horas. [0,5 puntos]}$

Se toma $\mu=190$ minutos y se trabaja con la distribución de la media muestral para $n=50$. Las 3 horas del enunciado son 180 minutos, que hay que expresar en las mismas unidades que la media.

$\bar{X}\sim N\left(190\,;\,\dfrac{42{,}7}{\sqrt{50}}\right)=N(190\,;\,6{,}04)$

$P(\bar{X}>180)=P\left(Z>\dfrac{180-190}{6{,}04}\right)=P(Z>-1{,}66)$

$=\Phi(1{,}66)=0{,}9515$



La probabilidad de que una muestra de 50 patinetes tenga una duración media superior a 3 horas es $0{,}9515$, es decir, un $95{,}15\ \%$.