Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

La playa de Famara (Lanzarote) es muy famosa por la calidad de sus olas para la realización de Surf. La academia de surf "FaMa-t-Surf" ofrece cursos para quienes quieren iniciarse en este deporte y garantiza que, tras sus sesiones de formación, un surfista principiante surfeará la ola con un 70% de posibilidades.

a) Se elige al azar un surfista que ha seguido las clases de esta academia. Si intenta surfear 5 olas, ¿cuál es la probabilidad de que logre surfear alguna de ellas? [1,25 puntos]

b) Para contratar un nuevo monitor se evalúa a un surfista experimentado que tiene un 90% de probabilidad de surfear una ola. Se contrata si logra surfear al menos 14 de 15 olas, ¿cuál es la probabilidad de que consiga el puesto? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Se elige al azar un surfista que ha seguido las clases de esta academia. Si intenta surfear 5 olas, ¿cuál es la probabilidad de que logre surfear alguna de ellas? [1,25 puntos]}$

Llamamos $X$ al número de olas surfeadas de las cinco intentadas. Cada intento se salda con éxito o fracaso, siempre con la misma probabilidad y con independencia de los demás, de modo que:

$X\sim B(n,p)=B(5;\,0{,}7)$

Surfear alguna ola es el suceso contrario de no surfear ninguna, y calcularlo por el contrario ahorra sumar cinco términos.

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)$

$P(X=0)=\binom{5}{0}\,0{,}7^{0}\cdot 0{,}3^{5}=0{,}3^{5}=0{,}00243$

$P(X\ge 1)=1-0{,}00243=0{,}99757$

La probabilidad de que el surfista logre surfear alguna de las cinco olas es $0{,}99757$, esto es, un $99{,}76\ \%$: es casi seguro que consiga al menos una.

$\textbf{b) Para contratar un nuevo monitor se evalúa a un surfista experimentado que tiene un }\boldsymbol{90\ \%}\textbf{ de probabilidad de surfear una ola. Se contrata si logra surfear al menos 14 de 15 olas, ¿cuál es la probabilidad de que consiga el puesto? [0,75 puntos]}$

Ahora la variable $Y$ cuenta las olas surfeadas de las quince intentadas, con probabilidad de éxito $0{,}9$ en cada una.

$Y\sim B(15;\,0{,}9)$

Conseguir el puesto significa surfear 14 o 15 olas, dos sucesos incompatibles cuyas probabilidades se suman.

$P(Y\ge 14)=P(Y=14)+P(Y=15)$

$P(Y=14)=\binom{15}{14}\,0{,}9^{14}\cdot 0{,}1^{1}=15\cdot 0{,}2288\cdot 0{,}1=0{,}3432$

$P(Y=15)=\binom{15}{15}\,0{,}9^{15}=0{,}2059$

$P(Y\ge 14)=0{,}3432+0{,}2059=0{,}5490$

La probabilidad de que el surfista experimentado consiga el puesto de monitor es $0{,}5490$, un $54{,}90\ \%$: poco más que echarlo a suertes, pese a lo exigente que parece la prueba.