Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Dada la siguiente función:

$f(x) = x^2 \cdot e^{1-x}$

a) Averiguar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1,25 puntos]

b) Estudiar la tendencia de $f(x)$ cuando se aproxima a $\pm\infty$. ¿Qué se puede afirmar en relación a la asíntota horizontal de $f(x)$? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Averiguar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1,25 puntos]}$

La función es producto de un polinomio por una exponencial, de modo que su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en todo punto. El crecimiento lo decide el signo de la derivada primera, que se calcula con la regla del producto y se deja factorizada.

$f'(x)=2x\,e^{1-x}+x^2\,e^{1-x}\cdot(-1)$

$f'(x)=e^{1-x}\left(2x-x^2\right)=x\,(2-x)\,e^{1-x}$

La exponencial es siempre positiva, así que el signo de la derivada es el del producto $x\,(2-x)$, que se anula en los puntos críticos.

$x\,(2-x)=0\ \Rightarrow\ x=0\ ,\quad x=2$



La función decrece en $(-\infty,0)$, crece en $(0,2)$ y vuelve a decrecer en $(2,+\infty)$. En consecuencia hay un mínimo relativo en $x=0$, con $f(0)=0$, y un máximo relativo en $x=2$, con $f(2)=4e^{-1}\approx 1{,}47$.

$\textbf{b) Estudiar la tendencia de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ cuando se aproxima a } \boldsymbol{\pm\infty}\textbf{. ¿Qué se puede afirmar en relación a la asíntota horizontal de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{? [0,75 puntos]}$

Se calculan los dos límites en el infinito. Por la derecha aparece una indeterminación del tipo $\infty\cdot 0$ que se resuelve escribiendo la exponencial en el denominador y aplicando dos veces la regla de L'Hôpital, pues el crecimiento de la exponencial domina al del polinomio.

$\lim_{x\to +\infty}x^2e^{1-x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{e^{x-1}}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x}{e^{x-1}}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2}{e^{x-1}}=0$

Por la izquierda no hay indeterminación alguna: los dos factores crecen a la vez.

$\lim_{x\to -\infty}x^2e^{1-x}=(+\infty)\cdot(+\infty)=+\infty$

La función tiende a cero por la derecha y a infinito por la izquierda. Se puede afirmar, por tanto, que $y=0$ es asíntota horizontal de $f(x)$, pero solo cuando $x\to +\infty$: por la izquierda la gráfica se dispara y no hay ninguna asíntota horizontal.