Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

En el espacio tridimensional, se conoce que el siguiente plano y recta son secantes:

$\pi: x + 3y + 2z = 10 \quad ; \quad r: \dfrac{x+21}{11} = 3 - y = \dfrac{5-z}{2}$

a) Averiguar el punto de corte entre el plano $\pi$ y la recta $r$. [1 punto]

b) Calcular el ángulo generado por el plano $\pi$ y la recta $r$. [1 punto]

$\textbf{a) Averiguar el punto de corte entre el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Conviene escribir primero la recta en forma continua ordenada, con los tres numeradores del tipo variable menos constante, para leer sin errores el punto y el vector director.

$r:\ \dfrac{x+21}{11}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-5}{-2}$

$R(-21,3,5)\in r\ ,\qquad \vec d_r=(11,-1,-2)$

De ahí se pasa a las ecuaciones paramétricas, que son las que se sustituyen en el plano.

$r:\begin{cases} x=-21+11\lambda \\ y=3-\lambda \\ z=5-2\lambda \end{cases}$

$(-21+11\lambda)+3\,(3-\lambda)+2\,(5-2\lambda)=10$

$-21+11\lambda+9-3\lambda+10-4\lambda=10\ \Rightarrow\ 4\lambda-2=10$

$\lambda=3$

Se lleva ese valor del parámetro a las paramétricas de la recta.

$x=-21+33=12\ ,\quad y=3-3=0\ ,\quad z=5-6=-1$

El plano y la recta se cortan en el punto $I(12,0,-1)$, que en efecto verifica la ecuación del plano: $12+3\cdot 0+2\cdot(-1)=10$.

$\textbf{b) Calcular el ángulo generado por el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

El ángulo que forman una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, de modo que el coseno de aquel se convierte en el seno de este.

$\vec n_{\pi}=(1,3,2)\ ,\qquad \vec d_r=(11,-1,-2)$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec d_r\cdot\vec n_{\pi}\right|}{\left|\vec d_r\right|\cdot\left|\vec n_{\pi}\right|}$

$\vec d_r\cdot\vec n_{\pi}=11\cdot 1+(-1)\cdot 3+(-2)\cdot 2=11-3-4=4$

$\left|\vec d_r\right|=\sqrt{11^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}$

$\left|\vec n_{\pi}\right|=\sqrt{1^2+3^2+2^2}=\sqrt{14}$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{4}{3\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}=\dfrac{4}{42}=\dfrac{2}{21}\approx 0{,}0952$

$\alpha=\operatorname{arcsen}\left(\dfrac{2}{21}\right)\approx 5{,}47^{\circ}$



La recta atraviesa el plano en $I$ formando con él un ángulo de unos $5{,}47^{\circ}$, es decir, $5^{\circ}\,27'$: una inclinación muy pequeña, casi rasante al plano.