Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Una ultramaratón internacional realizada en Gran Canaria atraviesa espacios naturales protegidos muy sensibles, como el Parque Natural de Tamadaba o el Parque Rural del Nublo. El Cabildo Insular ha establecido la cantidad máxima de 7500 participantes para poder garantizar la conservación de los parques por los que discurre la prueba.

Siguiendo datos de otros años, se propone un modelo matemático dado por la función $I(t)$, que mide el número total de corredores inscritos (expresados en miles) transcurrido el tiempo $t$ (en meses) desde la apertura de las inscripciones.

$I(t) = \begin{cases} 5e^{0.8t-4}, & 0 \le t \le 5 \\[8pt] \dfrac{14t - 65}{2t - 9}, & t > 5 \end{cases}$

a) Indicar si el modelo es continuo y derivable en su dominio de definición. [1,5 puntos]

b) El modelo propuesto, ¿garantiza que no se superará el número máximo de inscripciones permitidas? Justificar la respuesta. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Indicar si el modelo es continuo y derivable en su dominio de definición. [1,5 puntos]}$

El dominio del modelo es $[0,+\infty)$, porque $t$ cuenta meses desde la apertura de las inscripciones. Dentro de cada tramo no hay problemas: la primera rama es una exponencial, continua y derivable en todo $\mathbb{R}$, y la segunda es un cociente de polinomios cuyo denominador solo se anula en $t=\dfrac{9}{2}=4{,}5$, valor que no pertenece al tramo $t>5$. El único punto que hay que estudiar es el de empalme, $t=5$.

Para la continuidad se comparan los dos límites laterales con el valor de la función.

$\lim_{t\to 5^-}I(t)=5e^{0{,}8\cdot 5-4}=5e^{0}=5=I(5)$

$\lim_{t\to 5^+}I(t)=\dfrac{14\cdot 5-65}{2\cdot 5-9}=\dfrac{5}{1}=5$

Los tres valores coinciden, luego el modelo es continuo en $t=5$ y, con ello, en todo su dominio.

Para la derivabilidad se derivan las dos ramas y se comparan las derivadas laterales en ese mismo punto.

$I'(t)=5\cdot 0{,}8\,e^{0{,}8t-4}=4e^{0{,}8t-4}\quad\text{si } 0\le t<5$

$I'(t)=\dfrac{14\,(2t-9)-(14t-65)\cdot 2}{(2t-9)^2}=\dfrac{4}{(2t-9)^2}\quad\text{si } t>5$

$I'(5^-)=4e^{0}=4$

$I'(5^+)=\dfrac{4}{(2\cdot 5-9)^2}=\dfrac{4}{1}=4$

Las dos derivadas laterales coinciden, así que el modelo también es derivable en $t=5$. El número de inscritos evoluciona, por tanto, de forma continua y sin cambios bruscos de ritmo en todo el periodo de inscripción.

$\textbf{b) El modelo propuesto, ¿garantiza que no se superará el número máximo de inscripciones permitidas? Justificar la respuesta. [0,5 puntos]}$

El tope son 7500 participantes, es decir, $7{,}5$ miles, que es la unidad en la que mide $I(t)$. Por el apartado anterior la derivada es positiva en los dos tramos, de modo que las inscripciones no dejan de crecer y basta comprobar hacia qué valor lo hacen.

$\lim_{t\to +\infty}I(t)=\lim_{t\to +\infty}\dfrac{14t-65}{2t-9}=\dfrac{14}{2}=7$



La función crece siempre pero acercándose a la asíntota horizontal $I=7$ sin llegar a alcanzarla, así que el número de inscritos se mantiene por debajo de 7000 corredores. El modelo sí garantiza que no se superará el máximo de 7500 participantes fijado por el Cabildo.