Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

El área de Medio Ambiente del Cabildo ha diseñado un plan de reforestación para las zonas de cumbre afectadas por incendios. El plan incluye una técnica innovadora que garantiza que tres de cada cinco semillas de pino canario germinan y sobrevive el primer año. Para validar la eficacia de esta técnica, se han plantado 150 semillas en una parcela experimental. Se supone que la supervivencia de la semilla es independiente del resto.

a) Calcular la probabilidad de que, en la parcela experimental, germinen y sobrevivan entre 82 y 94 semillas el primer año. [1,25 puntos]

b) Los técnicos del Cabildo han decidido que, si tras el primer año de estudio de la parcela experimental, germinan y sobreviven más de 80 semillas con una probabilidad superior al 90%, se incorporará esta técnica innovadora al plan de reforestación. En base a los datos, ¿incluirán esta técnica en el plan de reforestación? [0,75 puntos]

Llamamos $X$ al número de semillas, de las 150 plantadas, que germinan y sobreviven el primer año. Cada semilla lo consigue o no con la misma probabilidad y con independencia de las demás, de modo que se trata de una binomial de parámetros:

$p=\dfrac{3}{5}=0{,}6\ ,\qquad q=1-p=0{,}4\ ,\qquad n=150$

$X\sim B(n,p)=B(150;\,0{,}6)$

Como $n$ es grande y se cumple $np=90>5$ y $nq=60>5$, la binomial se aproxima por una normal con la misma media y la misma desviación típica.

$\mu=np=150\cdot 0{,}6=90$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{150\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4}=\sqrt{36}=6$

$X'\sim N(90;\,6)$

Al pasar de una variable discreta a una continua hay que aplicar la corrección por continuidad, ensanchando el intervalo media unidad por cada lado.

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que, en la parcela experimental, germinen y sobrevivan entre 82 y 94 semillas el primer año. [1,25 puntos]}$

$P(82\le X\le 94)\approx P(81{,}5<X'<94{,}5)$

$=P\left(\dfrac{81{,}5-90}{6}<Z<\dfrac{94{,}5-90}{6}\right)=P(-1{,}42<Z<0{,}75)$

$=\Phi(0{,}75)-\left[1-\Phi(1{,}42)\right]=0{,}7734-(1-0{,}9222)$

$=0{,}7734-0{,}0778=0{,}6956$



La probabilidad de que germinen y sobrevivan entre 82 y 94 semillas el primer año es $0{,}6956$, es decir, un $69{,}56\ \%$.

$\textbf{b) Los técnicos del Cabildo han decidido que, si tras el primer año de estudio de la parcela experimental, germinan y sobreviven más de 80 semillas con una probabilidad superior al }\boldsymbol{90\ \%}\textbf{, se incorporará esta técnica innovadora al plan de reforestación. En base a los datos, ¿incluirán esta técnica en el plan de reforestación? [0,75 puntos]}$

Que germinen más de 80 semillas significa que germinen 81 o más, así que se calcula la cola derecha a partir de ese valor, de nuevo con la corrección por continuidad.

$P(X>80)=P(X\ge 81)\approx P(X'>80{,}5)$

$=P\left(Z>\dfrac{80{,}5-90}{6}\right)=P(Z>-1{,}58)=\Phi(1{,}58)$

$=0{,}9429$



La probabilidad de superar las 80 semillas es $0{,}9429$, un $94{,}29\ \%$, que es mayor que el $90\ \%$ exigido. Los técnicos del Cabildo sí incorporarán la técnica innovadora al plan de reforestación.