Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

Un reciente estudio de bienestar tecnológico ha analizado el tiempo total diario (en minutos) que los estudiantes de 2º de Bachillerato utilizan auriculares. Se asume que este tiempo diario de uso se puede modelizar mediante una variable aleatoria con distribución normal, de media 74 minutos y desviación típica de 20 minutos. El Servicio Canario de la Salud considera que los jóvenes hacen un "uso moderado" de los auriculares cuando lo utilizan menos de 50 minutos diarios.

a) Si a la actual convocatoria de la PAU se presentan 4000 estudiantes, estimar cuántos de ellos utilizan auriculares entre 70 y 80 minutos diarios. [1,25 puntos]

b) Determina el porcentaje de estudiantes que se presentaron a la PAU que hacen un "uso moderado" de los auriculares. [0,75 puntos]

Llamamos $X$ al tiempo diario, en minutos, que un estudiante utiliza los auriculares. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(74;\,20)$

En los dos apartados se tipifica la variable para poder consultar la tabla de la $N(0,1)$, que solo recoge valores positivos de $z$.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-74}{20}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) Si a la actual convocatoria de la PAU se presentan 4000 estudiantes, estimar cuántos de ellos utilizan auriculares entre 70 y 80 minutos diarios. [1,25 puntos]}$

Se calcula primero la probabilidad de que un estudiante cualquiera se encuentre en esa franja y después se multiplica por el número de presentados, que es el número esperado de estudiantes.

$P(70<X<80)=P\left(\dfrac{70-74}{20}<Z<\dfrac{80-74}{20}\right)=P(-0{,}2<Z<0{,}3)$

$=\Phi(0{,}3)-\Phi(-0{,}2)=\Phi(0{,}3)-\left[1-\Phi(0{,}2)\right]$

$=0{,}6179-(1-0{,}5793)=0{,}6179-0{,}4207=0{,}1972$



$4000\cdot 0{,}1972=788{,}8$

De los 4000 estudiantes presentados a la PAU se estima que unos $789$ utilizan los auriculares entre 70 y 80 minutos diarios.

$\textbf{b) Determina el porcentaje de estudiantes que se presentaron a la PAU que hacen un "uso moderado" de los auriculares. [0,75 puntos]}$

El uso moderado corresponde a utilizarlos menos de 50 minutos diarios, es decir, a la cola izquierda de la distribución por debajo de ese valor.

$P(X<50)=P\left(Z<\dfrac{50-74}{20}\right)=P(Z<-1{,}2)$

$=1-\Phi(1{,}2)=1-0{,}8849=0{,}1151$



El $11{,}51\ \%$ de los estudiantes presentados a la PAU hace un uso moderado de los auriculares, esto es, algo menos de uno de cada nueve.