Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Calcular la siguiente integral definida:

$\displaystyle\int_{1}^{2} x e^x \, dx$ [2 puntos]

El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, de manera que se resuelve por partes tomando como $u$ el polinomio, que baja de grado al derivar, y como $dv$ la exponencial, que se integra sin dificultad.

$u=x\ \Rightarrow\ du=dx$

$dv=e^x\,dx\ \Rightarrow\ v=e^x$

Aplicando la fórmula de la integración por partes, $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$:

$\displaystyle\int_{1}^{2} x e^x\,dx=\Big[x\,e^x\Big]_{1}^{2}-\int_{1}^{2} e^x\,dx$

$=\Big[x\,e^x\Big]_{1}^{2}-\Big[e^x\Big]_{1}^{2}=\Big[e^x\,(x-1)\Big]_{1}^{2}$

Por la regla de Barrow se sustituyen los extremos de integración en la primitiva y se restan los resultados.

$=e^2\,(2-1)-e^1\,(1-1)=e^2-0$

$\displaystyle\int_{1}^{2} x e^x\,dx=e^2\approx 7{,}389$

El valor de la integral definida es $e^2$, aproximadamente $7{,}389$ unidades de superficie, pues el integrando es positivo en todo el intervalo $[1,2]$ y la integral mide el área encerrada bajo la curva.