Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

En el espacio tridimensional se conocen el siguiente plano y punto:

$\pi: 2x + 3y = 0 \quad ; \quad P(1,-5,1)$

a) Hallar la recta $r$ perpendicular al plano $\pi$ que pasa por el punto $P$. [0,5 puntos]

b) Estudiar la posición relativa de la recta $s: \begin{cases} -x + 3y - 3z = -3 \\ 4x + 9y - 2z = -2 \end{cases}$ con el plano $\pi$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Hallar la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que pasa por el punto } \boldsymbol{P}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Una recta perpendicular a un plano lleva la dirección del vector normal del plano, que se lee directamente de los coeficientes de su ecuación general.

$\pi: 2x+3y+0z=0\ \Rightarrow\ \vec n_{\pi}=(2,3,0)$

Con ese vector director y el punto $P(1,-5,1)$ se escribe la recta pedida.

$r:\begin{cases} x=1+2\lambda \\ y=-5+3\lambda \\ z=1 \end{cases}$

En forma continua, y separando la coordenada que permanece constante:

$r:\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{3}\ ,\quad z=1$

$\textbf{b) Estudiar la posición relativa de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ con el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1,5 puntos]}$

La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos, así que su vector director es perpendicular a las dos normales y se obtiene con el producto vectorial de ambas.

$\vec d_s=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 3 & -3 \\ 4 & 9 & -2 \end{vmatrix}=(21,-14,-21)$

Como el módulo no importa, se toma el vector proporcional más sencillo dividiendo entre 7.

$\vec d_s=(3,-2,-3)$

Una recta y un plano son paralelos —o la recta está contenida en él— cuando el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano, es decir, cuando su producto escalar se anula.

$\vec d_s\cdot\vec n_{\pi}=(3,-2,-3)\cdot(2,3,0)=6-6+0=0$

Queda descartado que se corten. Para distinguir entre las dos posibilidades restantes basta comprobar si un punto cualquiera de $s$ pertenece o no al plano. Haciendo $z=0$ en el sistema que define la recta:

$\left.\begin{array}{r} -x+3y=-3 \\ 4x+9y=-2 \end{array}\right\}\ \Rightarrow\ x=3y+3$

$4(3y+3)+9y=-2\ \Rightarrow\ 21y=-14\ \Rightarrow\ y=-\dfrac{2}{3}$

$x=3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)+3=1\ \Rightarrow\ A\left(1,-\dfrac{2}{3},0\right)\in s$

Se sustituye ese punto en la ecuación del plano:

$2\cdot 1+3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)=2-2=0$



El punto $A$ satisface la ecuación de $\pi$, luego la recta $s$ está contenida en el plano $\pi$. Los dos elementos tienen infinitos puntos comunes: todos los de la recta.