Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Tras la erupción del volcán Tajogaite (La Palma, 2021) un equipo de ingenieros ha desarrollado un prototipo de barredora marítima para recoger la ceniza que llega al mar, con una capacidad de $0.5\ km^2/hora$. Para la construcción del prototipo, se ha modelizado mediante $f(t)$ la superficie afectada por la mancha de ceniza en $km^2$, siendo $t$ los días transcurridos desde que comienzan la monitorización de la mancha marítima.

$f(t) = \dfrac{10t + 5}{2t^2 + 4} + 5$

a) Estudiar el crecimiento y decrecimiento del modelo propuesto. ¿Existe algún valor extremo en el modelo? En caso afirmativo, ¿cuál es el tamaño de la mancha de ceniza en ese punto? [1 punto]

b) Un técnico del equipo afirma que no hará falta la intervención de medios de limpieza ya que pasado un tiempo la mancha desaparecerá. ¿Es cierta esta afirmación? Justificar la respuesta. [0,5 puntos]

c) La barredora se pone en funcionamiento el cuatro día después de comenzar a monitorizar la mancha. Si la superficie de la mancha no recibiera más ceniza y se mantuviera constante a partir de ese día, ¿cuánto tiempo tardaría la barredora en eliminar la mancha de ceniza? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudiar el crecimiento y decrecimiento del modelo propuesto. ¿Existe algún valor extremo en el modelo? En caso afirmativo, ¿cuál es el tamaño de la mancha de ceniza en ese punto? [1 punto]}$

El modelo mide días transcurridos, de manera que su dominio es $t\ge 0$. El crecimiento y el decrecimiento se deciden con el signo de la derivada primera, que se obtiene derivando el cociente y dejando el numerador factorizado.

$f'(t)=\dfrac{10\,(2t^2+4)-(10t+5)\cdot 4t}{(2t^2+4)^2}$

$f'(t)=\dfrac{20t^2+40-40t^2-20t}{(2t^2+4)^2}=\dfrac{-20t^2-20t+40}{(2t^2+4)^2}$

$f'(t)=\dfrac{-20\,(t^2+t-2)}{(2t^2+4)^2}=\dfrac{-20\,(t+2)(t-1)}{(2t^2+4)^2}$

El denominador es un cuadrado y nunca se anula, así que el signo de la derivada es el del numerador. En el dominio del modelo se cumple $t+2>0$, luego todo depende del factor $t-1$, que cambia de signo en $t=1$.



La función crece en $[0,1)$ y decrece en $(1,+\infty)$, de modo que en $t=1$ hay un máximo relativo, que además es absoluto por ser el único extremo del dominio.

$f(1)=\dfrac{10\cdot 1+5}{2\cdot 1^2+4}+5=\dfrac{15}{6}+5=\dfrac{5}{2}+5=\dfrac{15}{2}=7{,}5$

La mancha de ceniza crece durante el primer día y a partir de ahí disminuye. El valor extremo se alcanza al cabo de un día y es un máximo de $7{,}5\ \text{km}^2$ de superficie afectada.

$\textbf{b) Un técnico del equipo afirma que no hará falta la intervención de medios de limpieza ya que pasado un tiempo la mancha desaparecerá. ¿Es cierta esta afirmación? Justificar la respuesta. [0,5 puntos]}$

Que la mancha desaparezca por sí sola significaría que su superficie tiende a cero al pasar el tiempo, así que basta calcular el límite del modelo cuando $t$ tiende a infinito. En el cociente el grado del denominador es mayor que el del numerador.

$\lim_{t\to +\infty}f(t)=\lim_{t\to +\infty}\left(\dfrac{10t+5}{2t^2+4}+5\right)=0+5=5$

La afirmación del técnico no es cierta. Pasado mucho tiempo la mancha no desaparece: su superficie se estabiliza en torno a $5\ \text{km}^2$, que es una asíntota horizontal del modelo, de modo que hará falta la intervención de la barredora.

$\textbf{c) La barredora se pone en funcionamiento el cuatro día después de comenzar a monitorizar la mancha. Si la superficie de la mancha no recibiera más ceniza y se mantuviera constante a partir de ese día, ¿cuánto tiempo tardaría la barredora en eliminar la mancha de ceniza? [0,5 puntos]}$

Primero se calcula la superficie que tiene la mancha el cuarto día y después se divide entre la capacidad de recogida de la barredora, que es de $0{,}5\ \text{km}^2/\text{hora}$.

$f(4)=\dfrac{10\cdot 4+5}{2\cdot 4^2+4}+5=\dfrac{45}{36}+5=\dfrac{5}{4}+5=\dfrac{25}{4}=6{,}25$

$\dfrac{6{,}25\ \text{km}^2}{0{,}5\ \text{km}^2/\text{hora}}=12{,}5\ \text{horas}$

Manteniéndose constante la mancha desde el cuarto día, la barredora tardaría $12{,}5$ horas, es decir, 12 horas y 30 minutos, en eliminar por completo la ceniza.