Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2026

Responda a.1 o a.2.

a.1) Una placa del elemento $e_1$ se ilumina con seis ondas monocromáticas y se mide la energía cinética de los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico. Al iluminar una placa del elemento $e_2$ con las mismas ondas, solo se emiten electrones en cuatro casos. Los puntos del gráfico representan la energía cinética de los electrones emitidos en función del inverso de la longitud de onda de las ondas monocromáticas.



(i) Explique por qué los puntos del mismo elemento están alineados. [0,75 puntos]

(ii) Explique cualitativamente cuál de los dos elementos tiene el trabajo de extracción más grande. [0,75 puntos]

(iii) Calcule el trabajo de extracción del elemento $e_2$ a partir de la línea discontinua dibujada siguiendo los puntos. [1 punto]

a.2) (i) ¿Qué partículas se emiten en las desintegraciones $\alpha$ y $\beta^{-}$? [0,5 puntos]

(ii) ¿Cuántos protones tendrá el núcleo del isótopo $^{224}_{\ 88}\text{Ra}$ después de tres desintegraciones $\alpha$ y una desintegración $\beta^{-}$? [0,5 puntos]

(iii) La actividad actual de una muestra de un elemento radioactivo es de 4096 desintegraciones por minuto. ¿Cuál es la actividad de la muestra después de 4 semividas? [0,5 puntos]

(iv) La semivida del fósforo 32 es de 14 días, y la del cromo 51, de 28 días. En un momento dado, una muestra con fósforo 32 tiene una actividad de 12000 desintegraciones por día, y una muestra con cromo 51, de 6000. Escriba la ecuación que permite determinar al cabo de cuántos días las actividades de las muestras son iguales. Calcule las actividades de las dos muestras al cabo de 14, 28 y 56 días. [1 punto]

Datos: $h = 6{,}62607015\cdot10^{-34}\ \text{J s}$; $c = 299\,792\,458\ \text{m/s}$; $e = 1{,}602176634\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $E = hf$; $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$ con $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$.

$\textbf{a.1) (i) Explique por qué los puntos del mismo elemento están alineados. [0,75 puntos]}$

La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico dice que la energía cinética máxima de los electrones emitidos es la energía del fotón menos el trabajo de extracción del metal.

$E_c=h\,f-W=\dfrac{h\,c}{\lambda}-W$

Escrita en función de la variable que usa el gráfico, $\lambda^{-1}$, la relación es la de una recta.

$E_c=h\,c\cdot\lambda^{-1}-W$

Es la ecuación $y=mx+n$ con $m=hc$ y $n=-W$: la energía cinética depende linealmente del inverso de la longitud de onda. Por eso los puntos de un mismo elemento caen sobre una recta.

Además, la pendiente $hc$ no depende del metal, de modo que las dos rectas son paralelas; lo único que las distingue es la ordenada en el origen, es decir, el trabajo de extracción.

$\textbf{a.1) (ii) Explique cualitativamente cuál de los dos elementos tiene el trabajo de extracción más grande. [0,75 puntos]}$

La recta del elemento $e_2$ está desplazada hacia la derecha respecto de la de $e_1$, es decir, corta al eje horizontal en un valor mayor de $\lambda^{-1}$.

$E_c=0 \Rightarrow \lambda_0^{-1}=\dfrac{W}{h\,c}$

Cuanto mayor es el trabajo de extracción, mayor es el corte con el eje: hace falta un fotón más energético, de longitud de onda más corta, para arrancar el primer electrón. El elemento $e_2$ tiene, por tanto, el trabajo de extracción más grande.

Lo confirma el dato del enunciado: con las seis mismas ondas, $e_2$ solo emite electrones en cuatro casos. Las dos radiaciones de menor energía no llegan a su umbral, aunque sí superan el de $e_1$. Y a igualdad de longitud de onda, los electrones de $e_2$ salen siempre con menos energía cinética.

$\textbf{a.1) (iii) Calcule el trabajo de extracción del elemento } \boldsymbol{e_2}\textbf{ a partir de la línea discontinua dibujada siguiendo los puntos. [1 punto]}$

El trabajo de extracción es, en valor absoluto, la ordenada en el origen de la recta; lo más cómodo es leer el corte con el eje horizontal, que es la frecuencia umbral expresada como $\lambda_0^{-1}$.

$\lambda_0^{-1}\approx 3{,}91\cdot 10^{6}\ \text{m}^{-1}$

En ese punto la energía cinética es nula y toda la energía del fotón se emplea en extraer el electrón.

$W_2=h\,c\,\lambda_0^{-1}=6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 2{,}998\cdot 10^{8}\cdot 3{,}91\cdot 10^{6}$

$W_2=7{,}77\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

$W_2=\dfrac{7{,}77\cdot 10^{-19}}{1{,}602\cdot 10^{-19}}=4{,}85\ \text{eV}$

El trabajo de extracción del elemento $e_2$ es de unos 4,85 eV. Se obtiene lo mismo tomando dos puntos de la recta: la pendiente sale $1{,}25\cdot 10^{-6}$ eV·m, que es el valor de $hc$, y con ella la ordenada en el origen vuelve a dar 4,85 eV.

$\textbf{a.2) (i) ¿Qué partículas se emiten en las desintegraciones } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ y } \boldsymbol{\beta^{-}}\textbf{? [0,5 puntos]}$

En la desintegración $\alpha$ el núcleo emite una partícula alfa, que es un núcleo de helio-4: dos protones y dos neutrones.

$\alpha=\ ^{4}_{2}\text{He}^{2+}$

En la desintegración $\beta^-$ un neutrón del núcleo se convierte en un protón y se emiten un electrón y un antineutrino electrónico.

$^{1}_{0}n \rightarrow\ ^{1}_{1}p+\ ^{0}_{-1}e^-+\bar\nu_e$

El electrón emitido no estaba en el núcleo: se crea en el propio proceso, y por eso su energía no está fijada, sino repartida con el antineutrino.

$\textbf{a.2) (ii) ¿Cuántos protones tendrá el núcleo del isótopo } \boldsymbol{^{224}_{\ 88}\text{Ra}}\textbf{ después de tres desintegraciones } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ y una desintegración } \boldsymbol{\beta^{-}}\textbf{? [0,5 puntos]}$

Cada desintegración alfa baja el número atómico en dos unidades y cada beta menos lo sube en una.

$Z=88-3\cdot 2+1\cdot 1=88-6+1$

$Z=83$

El núcleo resultante tiene 83 protones, es decir, es un isótopo del bismuto. Su número másico sería $224-3\cdot 4=212$, de modo que se trata del bismuto-212.

$\textbf{a.2) (iii) La actividad actual de una muestra de un elemento radioactivo es de 4096 desintegraciones por minuto. ¿Cuál es la actividad de la muestra después de 4 semividas? [0,5 puntos]}$

En cada semivida la actividad se reduce a la mitad, así que después de $n$ semividas queda dividida entre $2^n$.

$A=\dfrac{A_0}{2^n}=\dfrac{4096}{2^4}=\dfrac{4096}{16}$

$A=256\ \text{desintegraciones por minuto}$

Al cabo de cuatro semividas la actividad es de 256 desintegraciones por minuto, la dieciseisava parte de la inicial.

$\textbf{a.2) (iv) Escriba la ecuación que permite determinar al cabo de cuántos días las actividades de las muestras son iguales. Calcule las actividades de las dos muestras al cabo de 14, 28 y 56 días. [1 punto]}$

Cada muestra decae con su propia constante, que sale de su semivida.

$A_P(t)=12\,000\cdot 2^{-t/14}; \qquad A_C(t)=6000\cdot 2^{-t/28}$

La condición de que las dos actividades coincidan es la ecuación pedida.

$12\,000\cdot 2^{-t/14}=6000\cdot 2^{-t/28}$

Se resuelve tomando logaritmos, o directamente observando que el cociente debe valer la unidad.

$2^{-t/14+t/28}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow -\dfrac{t}{28}=-1 \Rightarrow t=28\ \text{días}$

Se comprueba con la tabla de valores que pide el apartado.

$t$ (días)	Fósforo 32 (des./día)	Cromo 51 (des./día) 14	6000	4243 28	3000	3000 56	750	1500

A los 28 días las dos muestras tienen la misma actividad, 3000 desintegraciones por día. Antes de ese instante el fósforo 32 es más activo y después lo es el cromo 51, porque su semivida es el doble y por tanto decae más despacio.