Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Entre 2015 y 2017 se identificaron siete planetas alrededor de la estrella TRAPPIST-1. El planeta más próximo a la estrella tiene un período orbital de 1,51 días y la longitud del semieje mayor de su órbita es de 0,01154 ua.

Responda a, b y c.

a) El segundo planeta más próximo a la estrella tiene un período orbital de 2,42 días. Determine la longitud del semieje mayor de la órbita usando una de las leyes de Kepler. [0,75 puntos]

b) El cociente de la tercera ley de Kepler que incluye los valores del período orbital y la longitud del semieje mayor es igual a $4\pi^2/(G\,M_{\text{estrella}})$. Determine la masa de TRAPPIST-1, en kilogramos, y el cociente de esta masa respecto a la masa del Sol ($1{,}99\cdot10^{30}\ \text{kg}$). [0,75 puntos]

c) El área barrida por el segmento entre la estrella TRAPPIST-1 y uno de los planetas durante un tiempo $t_1$ después de que el planeta pase por el periastro es $A_1$. ¿El tiempo necesario para que el área barrida después de que el planeta pase por el apoastro sea también $A_1$ será menor, igual o mayor que $t_1$? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

Datos: $G = 6{,}6743\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $1\ \text{ua} = 149\,597\,870\,700\ \text{m}$.

$\textbf{a) El segundo planeta más próximo a la estrella tiene un período orbital de 2,42 días. Determine la longitud del semieje mayor de la órbita usando una de las leyes de Kepler. [0,75 puntos]}$

La tercera ley de Kepler dice que, para todos los planetas de un mismo sistema, el cuadrado del período es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita.

$\dfrac{T_1^2}{a_1^3}=\dfrac{T_2^2}{a_2^3}$

Se despeja el semieje del segundo planeta. Como el cociente que se forma es adimensional, no hace falta pasar los días a segundos ni las unidades astronómicas a metros.

$a_2^3=a_1^3\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2 \Rightarrow a_2=a_1\sqrt[3]{\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{2}}$

$a_2=0{,}01154\cdot\left(\dfrac{2{,}42}{1{,}51}\right)^{2/3}=0{,}01154\cdot(1{,}6026)^{2/3}$

$a_2=0{,}01154\cdot 1{,}3695=0{,}01580\ \text{ua}$

El semieje mayor de la órbita del segundo planeta mide 0,01580 ua, unos 2,36 millones de kilómetros: los planetas de TRAPPIST-1 orbitan mucho más cerca de su estrella que Mercurio del Sol.

$\textbf{b) Determine la masa de TRAPPIST-1, en kilogramos, y el cociente de esta masa respecto a la masa del Sol. [0,75 puntos]}$

Ahora sí hay que trabajar en unidades del SI, porque aparece la constante de gravitación.

$a_1=0{,}01154\cdot 1{,}495979\cdot 10^{11}=1{,}7264\cdot 10^{9}\ \text{m}$

$T_1=1{,}51\cdot 86\,400=1{,}30464\cdot 10^{5}\ \text{s}$

Se despeja la masa de la estrella de la expresión que da el enunciado.

$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M} \Rightarrow M=\dfrac{4\pi^2 a^3}{G\,T^2}$

$M=\dfrac{4\pi^2\,(1{,}7264\cdot 10^{9})^3}{6{,}6743\cdot 10^{-11}\cdot(1{,}30464\cdot 10^{5})^2}$

$M=\dfrac{2{,}0313\cdot 10^{29}}{1{,}1360}=1{,}79\cdot 10^{29}\ \text{kg}$

$\dfrac{M}{M_{\odot}}=\dfrac{1{,}79\cdot 10^{29}}{1{,}99\cdot 10^{30}}=0{,}0898$

TRAPPIST-1 tiene una masa de $1{,}79\cdot 10^{29}$ kg, que es solo el 9 % de la masa del Sol. Es una enana roja, la clase de estrella más pequeña capaz de mantener la fusión del hidrógeno. Repitiendo el cálculo con los datos del segundo planeta se obtiene el mismo valor, como exige la tercera ley.

$\textbf{c) ¿El tiempo necesario para que el área barrida después de que el planeta pase por el apoastro sea también } \boldsymbol{A_1}\textbf{ será menor, igual o mayor que } \boldsymbol{t_1}\textbf{? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]}$

Será exactamente igual a $t_1$.

La segunda ley de Kepler afirma que el radio vector que une la estrella con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, que la velocidad areolar es constante a lo largo de toda la órbita.

$\dfrac{dA}{dt}=\text{constante} \Rightarrow \dfrac{A_1}{t_1}=\dfrac{A_1}{t} \Rightarrow t=t_1$

La ley es consecuencia de que el momento angular se conserva: la fuerza gravitatoria es central, su momento respecto de la estrella es nulo y por tanto $\vec L$ no cambia.



Lo que sí cambia es la forma del sector barrido. Junto al periastro el planeta está cerca de la estrella y va deprisa, de modo que en ese tiempo recorre un arco grande y el sector sale corto y ancho; junto al apoastro está lejos y va despacio, y el sector sale largo y estrecho. Las dos áreas coinciden y por eso los dos tiempos también.