Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

El 5 de noviembre de 2025 fue el día en que la Luna estuvo más cerca de la Tierra en todo aquel año. La figura muestra los tamaños de la Tierra y la Luna, así como su distancia aquel día, representadas a escala.



$M_T$ (masa de la Tierra) $= 5{,}9722\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $M_L$ (masa de la Luna) $= 7{,}3477\cdot10^{22}\ \text{kg}$.

Responda a, b y c.

a) Determine la distancia $x$ a la Luna del punto P donde las atracciones gravitatorias de la Tierra y la Luna se cancelaron el día 5 de noviembre, y el cociente $x/d_{\text{T-L}}$. Aquí puede usar $M_T/M_L = 81{,}28$. [1 punto]

b) Calcule la energía potencial gravitatoria de una sonda de 1400 kg en el punto P, debida a la Tierra y la Luna. [0,5 puntos]

c) Calcule la velocidad de la sonda de 1400 kg justo antes del impacto con la Luna si la sonda tiene una velocidad radial de 6200 m/s en el punto P. Puede usar que la energía potencial gravitatoria de la sonda debida a la Tierra y la Luna, inmediatamente antes del impacto, tiene un valor de $-5{,}52\cdot10^{9}\ \text{J}$. [0,5 puntos]

Datos: $G = 6{,}6743\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $E_p = -G\,\dfrac{Mm}{r}$.

$\textbf{a) Determine la distancia } \boldsymbol{x}\textbf{ a la Luna del punto P donde las atracciones gravitatorias de la Tierra y la Luna se cancelaron el día 5 de noviembre, y el cociente } \boldsymbol{x/d_{\text{T-L}}}\textbf{. [1 punto]}$

En el punto P los dos campos gravitatorios tienen el mismo módulo y sentidos opuestos, porque están dirigidos cada uno hacia su astro. Llamando $x$ a la distancia de P a la Luna, la distancia de P a la Tierra es $d_{T\text{-}L}-x$.

$g_T=g_L \Rightarrow \dfrac{G\,M_T}{(d_{T\text{-}L}-x)^2}=\dfrac{G\,M_L}{x^2}$

La constante $G$ se simplifica y queda una relación entre las masas y las distancias. Tomando la raíz cuadrada de los dos miembros:

$\dfrac{d_{T\text{-}L}-x}{x}=\sqrt{\dfrac{M_T}{M_L}}=\sqrt{81{,}28}=9{,}0155$

$d_{T\text{-}L}=x\,(1+9{,}0155)=10{,}0155\,x$

$x=\dfrac{d_{T\text{-}L}}{10{,}0155}=\dfrac{3{,}56833\cdot 10^{8}}{10{,}0155}$

$x=3{,}563\cdot 10^{7}\ \text{m}=35\,628\ \text{km}$

$\dfrac{x}{d_{T\text{-}L}}=\dfrac{1}{10{,}0155}=0{,}0998$

El punto neutro está a unos 35 600 km de la Luna, es decir, a poco menos del 10 % de la distancia Tierra-Luna: queda muy cerca de la Luna, como corresponde a que su masa sea 81 veces menor que la de la Tierra.



$\textbf{b) Calcule la energía potencial gravitatoria de una sonda de 1400 kg en el punto P, debida a la Tierra y la Luna. [0,5 puntos]}$

La energía potencial es una magnitud escalar, así que las contribuciones de los dos astros se suman sin descomponer nada.

$E_p=-\dfrac{G\,M_T\,m}{d_{T\text{-}L}-x}-\dfrac{G\,M_L\,m}{x}$

$d_{T\text{-}L}-x=3{,}56833\cdot 10^{8}-3{,}563\cdot 10^{7}=3{,}2121\cdot 10^{8}\ \text{m}$

$E_p=-6{,}6743\cdot 10^{-11}\cdot 1400\left(\dfrac{5{,}9722\cdot 10^{24}}{3{,}2121\cdot 10^{8}}+\dfrac{7{,}3477\cdot 10^{22}}{3{,}563\cdot 10^{7}}\right)$

$E_p=-9{,}344\cdot 10^{-8}\,(1{,}8593\cdot 10^{16}+2{,}0623\cdot 10^{15})$

$E_p=-1{,}93\cdot 10^{9}\ \text{J}$

La energía potencial de la sonda en P vale $-1{,}93\cdot 10^{9}$ J. Es negativa, como siempre en el campo gravitatorio, y conviene fijarse en que el término de la Tierra sigue siendo nueve veces mayor que el de la Luna aunque el campo se anule: lo que se cancela es la fuerza, no la energía.

$\textbf{c) Calcule la velocidad de la sonda de 1400 kg justo antes del impacto con la Luna si la sonda tiene una velocidad radial de 6200 m/s en el punto P. [0,5 puntos]}$

Entre P y la superficie de la Luna solo actúan fuerzas gravitatorias, que son conservativas, de modo que la energía mecánica se conserva.

$\dfrac{1}{2}m\,v_P^2+E_{p,P}=\dfrac{1}{2}m\,v_f^2+E_{p,f}$

$v_f^2=v_P^2+\dfrac{2\left(E_{p,P}-E_{p,f}\right)}{m}$

$v_f^2=6200^2+\dfrac{2\left(-1{,}93\cdot 10^{9}+5{,}52\cdot 10^{9}\right)}{1400}$

$v_f^2=3{,}844\cdot 10^{7}+5{,}128\cdot 10^{6}=4{,}357\cdot 10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2$

$v_f=6{,}60\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

La sonda llega a la superficie lunar a unos 6,60 km/s. La ganancia respecto de los 6,2 km/s de partida es pequeña porque, desde el punto neutro, la caída hacia la Luna solo aporta la energía potencial que le queda por perder.