Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Considere la función $f(x) = \ln(2x)$, para $x \in (0, +\infty)$.

a) Haga una gráfica esquemática de la función $f(x)$. Calcule o justifique, e indique sobre la gráfica, el valor de la función en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos. [2 puntos]

b) Sobre la misma gráfica, trace la recta tangente a la función en el punto $x = 1$. ¿Cuál es el valor de su pendiente? [1 punto]

$\textbf{a) Haga una gráfica esquemática de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. Calcule o justifique, e indique sobre la gráfica, el valor de la función en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos. [2 puntos]}$

El dominio que fija el enunciado es $(0,+\infty)$, que es donde el argumento del logaritmo es positivo. Ninguno de los dos extremos pertenece al dominio, así que en los dos hay que calcular un límite.

$\lim_{x\to 0^{+}}\ln(2x)=-\infty$

$\lim_{x\to +\infty}\ln(2x)=+\infty$

El primero indica que la recta $x=0$, es decir, el eje de ordenadas, es una asíntota vertical de la curva.

Calculamos también el corte con el eje de abscisas, que sitúa la gráfica.

$\ln(2x)=0 \Rightarrow 2x=e^0=1 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

Para la monotonía se deriva la función y se estudia el signo de la derivada.

$f'(x)=\dfrac{2}{2x}=\dfrac{1}{x}$

En todo el dominio $x$ es positivo, de modo que la derivada también lo es y no se anula nunca.

$f'(x)=\dfrac{1}{x}>0 \quad \text{para todo } x>0$

La función es estrictamente creciente en $(0,+\infty)$ y no decrece en ningún tramo. Al no anularse la derivada, no hay máximos ni mínimos relativos, y al no pertenecer al dominio los extremos del intervalo tampoco hay extremos absolutos: la función no está acotada ni por arriba ni por abajo.



$\textbf{b) Sobre la misma gráfica, trace la recta tangente a la función en el punto } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. ¿Cuál es el valor de su pendiente? [1 punto]}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto, de manera que se sustituye en la derivada del apartado anterior.

$m=f'(1)=\dfrac{1}{1}=1$

El punto de tangencia se obtiene sustituyendo en la función.

$f(1)=\ln(2\cdot 1)=\ln 2\approx 0{,}6931 \Rightarrow (1,\ln 2)$

Con el punto y la pendiente se escribe la ecuación punto-pendiente de la recta.

$y-\ln 2=1\cdot(x-1) \Rightarrow y=x-1+\ln 2$

La recta tangente a la curva en $x=1$ tiene pendiente 1, así que forma un ángulo de 45° con el eje de abscisas. Es el punto en el que la gráfica del logaritmo crece exactamente al mismo ritmo que la bisectriz; a partir de ahí lo hace cada vez más despacio.