Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

La altura media en España se ha incrementado en los últimos 200 años por factores como la alimentación y la salud. Hace 200 años, la altura media en España era de 157 cm. Actualmente es de 169 cm. Aproximaremos la altura media en España con la función $f(t)$, en cm, siguiente:

$f(t) = 169 + t \cdot m,$

donde $m$ es una constante desconocida y $t$ es la variable que indica los años que han pasado desde hoy en día. Es decir, $f(0)$ representa la altura media hoy en día, y $f(-200)$ representa la altura media hace 200 años.

a) Calcule el valor del parámetro $m$. [1 punto]

b) Según nuestra función $f(t)$, ¿cuál será la altura media de aquí a 50 años? [1 punto]

c) Calcule $f'(0)$. ¿Qué representa este valor? [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el valor del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{. [1 punto]}$

El enunciado dice que $t$ cuenta los años transcurridos desde hoy, de manera que hace 200 años corresponde a $t=-200$, y que en ese momento la altura media era de 157 cm. Se impone esa condición sobre la función.

$f(-200)=157 \Rightarrow 169+(-200)\cdot m=157$

$-200m=157-169=-12$

$m=\dfrac{-12}{-200}=0{,}06$

El parámetro vale $m=0{,}06$ centímetros por año, y la función queda $f(t)=169+0{,}06\,t$.

$\textbf{b) Según nuestra función } \boldsymbol{f(t)}\textbf{, ¿cuál será la altura media de aquí a 50 años? [1 punto]}$

Dentro de 50 años corresponde a $t=50$, así que basta sustituir en la función del apartado anterior.

$f(50)=169+0{,}06\cdot 50=169+3$

$f(50)=172 \ \text{cm}$

Según este modelo, dentro de 50 años la altura media en España será de 172 cm.

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{f'(0)}\textbf{. ¿Qué representa este valor? [1 punto]}$

La función es afín, de modo que su derivada es constante e igual a la pendiente de la recta.

$f'(t)=0{,}06 \Rightarrow f'(0)=0{,}06$

La derivada en un punto es la tasa de variación instantánea de la función, así que $f'(0)=0{,}06$ representa la velocidad a la que crece hoy la altura media: 0,06 cm por año, esto es, 6 cm cada siglo.

Al ser el modelo una recta, ese ritmo es el mismo en cualquier instante, y coincide con la variación media observada: los 12 cm ganados en los últimos 200 años repartidos año a año.