Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una sala de operaciones podemos llevar a cabo dos tipos de operaciones:

— Tipo A: necesita 4 apósitos, 2 catéteres, y tiene una duración de 0,5 horas.

— Tipo B: necesita 6 apósitos, 1 catéter, y tiene una duración de 1 hora.

Necesitamos hacer al menos 10 operaciones en total, y disponemos solo de 60 apósitos y 26 catéteres. ¿Cuántas operaciones de cada tipo hemos de hacer para maximizar las horas de uso de la sala de operaciones? [3 puntos]

$\textbf{Necesitamos hacer al menos 10 operaciones en total, y disponemos solo de 60 apósitos y 26 catéteres. ¿Cuántas operaciones de cada tipo hemos de hacer para maximizar las horas de uso de la sala de operaciones? [3 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de operaciones del tipo A e $y$ al número de operaciones del tipo B. Ordenamos en una tabla lo que consume cada tipo.

$\text{Tipo}$	$\text{Apósitos}$	$\text{Catéteres}$	$\text{Horas}$ A (x)	4x	2x	0,5x B (y)	6y	y	y Totales	4x+6y	2x+y	0,5x+y

La función objetivo, que se quiere hacer máxima, es el número de horas de uso de la sala.

$Z(x,y)=0{,}5x+y$

Las restricciones son el mínimo de operaciones, el material disponible y el hecho de que un número de operaciones no puede ser negativo.

$\begin{cases} x+y\geq 10 \\ 4x+6y\leq 60 \\ 2x+y\leq 26 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Para dibujar la región factible se representan las rectas que la delimitan.

$x+y=10 \Rightarrow y=10-x$

$4x+6y=60 \Rightarrow y=\dfrac{60-4x}{6}$

$2x+y=26 \Rightarrow y=26-2x$



Los vértices del recinto se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

$\begin{cases} x=0 \\ 4x+6y=60 \end{cases} \Rightarrow 6y=60 \Rightarrow A(0,10)$

$\begin{cases} 4x+6y=60 \\ 2x+y=26 \end{cases} \Rightarrow 4x+6\,(26-2x)=60 \Rightarrow -8x=-96 \Rightarrow B(12,2)$

$\begin{cases} 2x+y=26 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow 2x=26 \Rightarrow C(13,0)$

$\begin{cases} x+y=10 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow x=10 \Rightarrow D(10,0)$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función objetivo se alcanza en alguno de los vértices, así que se evalúa $Z$ en los cuatro.

$Z(0,10)=0{,}5\cdot 0+10=10$

$Z(12,2)=0{,}5\cdot 12+2=8$

$Z(13,0)=0{,}5\cdot 13+0=6{,}5$

$Z(10,0)=0{,}5\cdot 10+0=5$

El valor máximo, 10 horas, se alcanza en el vértice $A(0,10)$.

Se comprueba que esa solución es admisible: 10 operaciones del tipo B consumen $6\cdot 10=60$ apósitos, justo los disponibles, y $10$ catéteres de los 26, y suman las 10 operaciones exigidas.

Para maximizar las horas de uso hay que hacer 10 operaciones del tipo B y ninguna del tipo A, con lo que la sala se ocupa 10 horas. El resultado es razonable: la operación B dura el doble que la A y solo gasta un catéter y medio apósito más, de modo que el recurso escaso —los apósitos— rinde más horas empleado en operaciones del tipo B.