Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Considere la función $f(x) = 1 + \sqrt{x - 1}$, para $x \in [1, +\infty)$.

a) Haga una gráfica esquemática de la función $f(x)$. Calcule o justifique, e indique sobre la gráfica, el valor de la función en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos. [2 puntos]

b) Sobre la misma gráfica, trace la recta tangente a la función en el punto $x = 10$. ¿Cuál es el valor de su pendiente? [1 punto]

$\textbf{a) Haga una gráfica esquemática de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. Calcule o justifique, e indique sobre la gráfica, el valor de la función en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos. [2 puntos]}$

El dominio que fija el enunciado es $[1,+\infty)$, que es exactamente donde el radicando no es negativo. Se estudian sus dos extremos.

$f(1)=1+\sqrt{1-1}=1+0=1$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\sqrt{x-1}\right)=+\infty$

Para la monotonía se deriva la función y se estudia el signo de la derivada.

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}$

El numerador es positivo y la raíz del denominador también lo es en todo el interior del dominio, así que la derivada no se anula nunca y es siempre positiva.

$f'(x)>0 \quad \text{para todo } x>1$

La función es estrictamente creciente en $(1,+\infty)$ y no decrece en ningún tramo. Al no anularse la derivada, no hay máximos ni mínimos relativos.

Los extremos absolutos hay que buscarlos entonces en la frontera del dominio. Como la función crece a partir de $x=1$, el valor más pequeño que alcanza es el de ese extremo, y como el límite en el infinito es $+\infty$, no está acotada superiormente.

La función alcanza entonces su mínimo absoluto en el punto $(1,1)$ y no tiene máximo absoluto.

La gráfica es la mitad superior de una parábola tumbada: arranca en el punto $(1,1)$ con tangente vertical y sube cada vez más despacio.



$\textbf{b) Sobre la misma gráfica, trace la recta tangente a la función en el punto } \boldsymbol{x = 10}\textbf{. ¿Cuál es el valor de su pendiente? [1 punto]}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto, de manera que basta sustituir en la derivada del apartado anterior.

$m=f'(10)=\dfrac{1}{2\sqrt{10-1}}=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}=\dfrac{1}{2\cdot 3}$

$m=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667$

El punto de tangencia se obtiene sustituyendo en la función.

$f(10)=1+\sqrt{10-1}=1+3=4 \Rightarrow (10,4)$

Con el punto y la pendiente se escribe la ecuación punto-pendiente de la recta.

$y-4=\dfrac{1}{6}\,(x-10) \Rightarrow y=\dfrac{x}{6}+\dfrac{7}{3}$

La recta tangente a la curva en $x=10$ tiene pendiente $1/6$, un valor positivo y pequeño que confirma lo que muestra la gráfica: en esa zona la función sigue creciendo, pero muy despacio.