Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Considere la función $f(x) = x(x^2 - 2x + 1)$, para $x \in (-\infty, \infty)$.

a) Calcule el valor de la función en los extremos del dominio. [1 punto]

b) Calcule $f'(1)$. [1 punto]

c) Calcule $\displaystyle\int_{0}^{1} f'(x)\,dx$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el valor de la función en los extremos del dominio. [1 punto]}$

El dominio es toda la recta real, así que sus extremos no son puntos que se puedan sustituir: hay que calcular los límites en $-\infty$ y en $+\infty$. Empezamos desarrollando la función, que es un polinomio de tercer grado.

$f(x)=x\,(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x=x\,(x-1)^2$

En un polinomio el comportamiento en el infinito lo marca el término de mayor grado, que aquí es $x^3$.

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$

La función no toma ningún valor en los extremos del dominio: baja sin cota cuando $x$ tiende a $-\infty$ y crece sin cota cuando tiende a $+\infty$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{f'(1)}\textbf{. [1 punto]}$

Se deriva el polinomio término a término y después se sustituye.

$f'(x)=3x^2-4x+1$

$f'(1)=3\cdot 1^2-4\cdot 1+1=3-4+1=0$

La derivada se anula en $x=1$, de modo que la recta tangente a la curva en ese punto es horizontal. Como además $f(1)=0$, la gráfica toca el eje de abscisas en $x=1$ sin atravesarlo: es la raíz doble que se ve en la forma factorizada $f(x)=x\,(x-1)^2$.

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{1} f'(x)\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

Se integra la derivada de la función, así que no hace falta buscar ninguna primitiva nueva: por la regla de Barrow, una primitiva de $f'$ es la propia $f$.

$\int_{0}^{1}f'(x)\,dx=\Big[f(x)\Big]_{0}^{1}=f(1)-f(0)$

$f(1)=1\cdot(1-1)^2=0 \qquad f(0)=0\cdot(0-1)^2=0$

$\int_{0}^{1}f'(x)\,dx=0-0=0$

La integral vale 0. El resultado se lee como una variación neta: entre $x=0$ y $x=1$ la función sube y vuelve a bajar hasta el mismo valor de partida, de forma que el balance de su crecimiento en ese intervalo es nulo.