Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere la matriz $M$ y su inversa, $M^{-1}$, siguientes:

$M = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad M^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & -1 \\ -5 & -1 & -2 \end{pmatrix}.$

a) Calcule el vector $x$ tal que $Mx = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. [2 puntos]

b) Calcule el vector $y$ tal que $M^{-1}y = M^{-1}\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el vector } \boldsymbol{x}\textbf{ tal que } \boldsymbol{Mx = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}}\textbf{. [2 puntos]}$

Se trata de una ecuación matricial. Como el enunciado ya proporciona la inversa de $M$, se despeja el vector incógnita multiplicando por la izquierda por $M^{-1}$.

$Mx=b \Rightarrow M^{-1}Mx=M^{-1}b \Rightarrow x=M^{-1}b$

Antes de usarla conviene comprobar que la matriz que da el enunciado es realmente la inversa.

$M\cdot M^{-1}= \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & -1 \\ -5 & -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\mathrm{Id}$

Ahora se multiplica la inversa por el término independiente.

$x= \begin{pmatrix} 7 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & -1 \\ -5 & -1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7+2+6 \\ -3-1-2 \\ -5-1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ -6 \\ -10 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado en la ecuación de partida.

$M\,x= \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ -6 \\ -10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15+6+10 \\ 15+6-20 \\ 30-18-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

El vector pedido es $x=(15,-6,-10)$.

$\textbf{b) Calcule el vector } \boldsymbol{y}\textbf{ tal que } \boldsymbol{M^{-1}y = M^{-1}\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}}\textbf{. [1 punto]}$

Aquí no hace falta calcular ningún producto. La matriz $M^{-1}$ es invertible, y su inversa es la propia $M$, así que se puede simplificar multiplicando los dos miembros por la izquierda por $M$.

$M^{-1}y=M^{-1}c \Rightarrow M\,M^{-1}y=M\,M^{-1}c \Rightarrow \mathrm{Id}\,y=\mathrm{Id}\,c$

$y=c=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

Es la traducción matricial de la ley de cancelación: si dos vectores tienen la misma imagen por una matriz regular, los dos vectores coinciden.

El vector pedido es $y=(-1,7,2)$, el mismo que aparece a la derecha de la igualdad.