Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Los resultados de una encuesta sobre la cantidad de días a la semana que un trabajador hace teletrabajo son los siguientes:

0 días	1 día	2 días	3 días	4 días	5 días 397	64	72	47	15	18

a) Calcule la proporción muestral, sobre el total de encuestados, de los que hacen al menos un día de teletrabajo semanal. [1 punto]

b) Calcule un intervalo de confianza para la proporción real de los trabajadores que hacen al menos un día de teletrabajo semanal con un nivel de confianza del 75 %. [1 punto]

Datos de la tabla de la distribución normal $N(0,1)$: $\Phi(1{,}15) = 0{,}8749$.

$\textbf{a) Calcule la proporción muestral, sobre el total de encuestados, de los que hacen al menos un día de teletrabajo semanal. [1 punto]}$

La proporción muestral es el cociente entre los encuestados que cumplen la condición y el total de la muestra, de modo que primero hay que sumar las seis frecuencias de la tabla.

$n=397+64+72+47+15+18=613 \ \text{encuestados}$

«Al menos un día» reúne todas las columnas salvo la de cero días, así que resulta más corto contar el suceso contrario y restarlo del total.

$k=613-397=216 \ \text{encuestados}$

$\hat p=\dfrac{k}{n}=\dfrac{216}{613}\approx 0{,}3524$

La proporción muestral de trabajadores que teletrabajan al menos un día a la semana es de $0{,}3524$, es decir, un 35,24 % de los encuestados.

$\textbf{b) Calcule un intervalo de confianza para la proporción real de los trabajadores que hacen al menos un día de teletrabajo semanal con un nivel de confianza del 75 \%. [1 punto]}$

Para una muestra grande, la proporción muestral se distribuye de forma aproximadamente normal alrededor de la proporción real $p$.

$\hat p\sim N\left(p,\ \sqrt{\dfrac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}\right)$

$IC=\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}\right)$

Buscamos el valor crítico. Un nivel de confianza del 75 % deja fuera el 25 %, repartido a partes iguales entre las dos colas.

$1-\alpha=0{,}75 \Rightarrow \alpha=0{,}25 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}125$

$P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}875$

El dato de la tabla que proporciona el enunciado es justamente ese, $\Phi(1{,}15)=0{,}8749$, luego se toma $z_{\alpha/2}=1{,}15$.

Calculamos el error máximo admisible.

$E=1{,}15\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}3524\cdot 0{,}6476}{613}}=1{,}15\cdot\sqrt{0{,}000372}$

$E=1{,}15\cdot 0{,}0193\approx 0{,}0222$

$IC=(0{,}3524-0{,}0222,\ 0{,}3524+0{,}0222)=(0{,}3302,\ 0{,}3746)$

Con una confianza del 75 %, la proporción real de trabajadores que teletrabajan al menos un día a la semana está entre el 33,02 % y el 37,46 %.