Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Queremos determinar el coste horario de tres servicios que ofrece una empresa de alquiler de material audiovisual. Estos servicios son: iluminación profesional, con un coste de $x$ €/hora; equipo de sonido, con un coste de $y$ €/hora; cámaras de grabación, con un coste de $z$ €/hora. Se han registrado los gastos totales asociados a tres eventos diferentes:

Evento 1: $2x + y + z = 6500$,

Evento 2: $4x + 5y + 7z = 22500$,

Evento 3: $x + 2y + 3z = 8000$.

Justifique si, con la información proporcionada, se pueden determinar de manera única los costes de los tres servicios. [2 puntos]

$\textbf{Justifique si, con la información proporcionada, se pueden determinar de manera única los costes de los tres servicios. [2 puntos]}$

Los tres eventos dan un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que son los costes por hora de la iluminación, del sonido y de las cámaras.

$\begin{cases} 2x+y+z=6500 \\ 4x+5y+7z=22\,500 \\ x+2y+3z=8000 \end{cases}$

Que la solución sea única equivale, por el teorema de Rouché-Frobenius, a que el rango de la matriz de coeficientes sea 3, es decir, a que su determinante no se anule. Se calcula desarrollando por la primera fila.

$\det(M)= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} =2\,(15-14)-1\,(12-7)+1\,(8-5)=2-5+3=0$

El determinante es nulo, de modo que el rango no llega a 3. Sí hay un menor de orden dos distinto de cero, luego el rango es exactamente 2.

$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=10-4=6\neq 0 \Rightarrow \text{rg}(M)=2$

Falta ver el rango de la matriz ampliada. La tercera fila es combinación lineal de las dos primeras, y la misma combinación funciona con los términos independientes.

$F_3=-\dfrac{1}{2}F_1+\dfrac{1}{2}F_2:\quad -\dfrac{1}{2}(2,1,1)+\dfrac{1}{2}(4,5,7)=(1,2,3)$

$-\dfrac{1}{2}\cdot 6500+\dfrac{1}{2}\cdot 22\,500=-3250+11\,250=8000$

$\text{rg}(M)=\text{rg}(M^{*})=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es, por tanto, compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro. Tomando $z=t$ y resolviendo con las dos primeras ecuaciones se obtiene

$x=\dfrac{5000+t}{3}, \qquad y=\dfrac{9500-5t}{3}, \qquad z=t$

Para que los tres costes sean positivos hace falta $0<t<1900$, y dentro de ese margen cualquier valor encaja con los tres eventos. Por ejemplo, $t=100$ da $(1700,3000,100)$ y $t=500$ da $(1833{,}33;\ 2333{,}33;\ 500)$.

No se pueden determinar de manera única los costes de los tres servicios: el tercer evento no aporta información nueva, porque su ecuación se deduce de las otras dos, y harían falta datos de un cuarto evento independiente de los anteriores.