Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x + 2}$,

a) Demuestre que $f(x)$ tiene al menos un punto crítico en cada uno de los siguientes intervalos: $(-3, -2{,}5)$, $(-1, 0)$ y $(0, 1)$. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que $f(x)$ tiene exactamente 3 puntos críticos, uno en cada intervalo del apartado anterior, indique si son máximos, mínimos o puntos de inflexión. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene al menos un punto crítico en cada uno de los siguientes intervalos: } \boldsymbol{(-3, -2{,}5)}\textbf{, } \boldsymbol{(-1, 0)}\textbf{ y } \boldsymbol{(0, 1)}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Los puntos críticos son los que anulan la derivada, así que empezamos derivando el cociente.

$f'(x)=\dfrac{3x^2(x+2)-(x^3+1)}{(x+2)^2}=\dfrac{3x^3+6x^2-x^3-1}{(x+2)^2}$

$f'(x)=\dfrac{2x^3+6x^2-1}{(x+2)^2}$

El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio de la función, que es $\mathbb{R}-\{-2\}$. Por tanto la derivada se anula justo donde lo hace el numerador, y basta estudiar el polinomio

$g(x)=2x^3+6x^2-1$

que es continuo en toda la recta real por ser polinómico. Se aplica el teorema de Bolzano en cada uno de los tres intervalos, ninguno de los cuales contiene al $-2$.

$g(-3)=-54+54-1=-1<0 \qquad g(-2{,}5)=-31{,}25+37{,}5-1=5{,}25>0$

$g(-1)=-2+6-1=3>0 \qquad g(0)=-1<0$

$g(0)=-1<0 \qquad g(1)=2+6-1=7>0$

En los tres casos la función continua $g$ toma valores de signo contrario en los extremos, luego por el teorema de Bolzano se anula al menos una vez dentro de cada intervalo. Y donde se anula $g$ se anula $f'$, porque el denominador no lo hace nunca.

Queda demostrado que $f$ tiene al menos un punto crítico en $(-3,-2{,}5)$, otro en $(-1,0)$ y otro en $(0,1)$.

$\textbf{b) Sabiendo que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene exactamente 3 puntos críticos, uno en cada intervalo del apartado anterior, indique si son máximos, mínimos o puntos de inflexión. [0,75 puntos]}$

Llamamos $x_1\in(-3,-2{,}5)$, $x_2\in(-1,0)$ y $x_3\in(0,1)$ a los tres puntos críticos, cuyos valores aproximados son $-2{,}94$, $-0{,}44$ y $0{,}38$. Como el signo de $f'$ coincide con el de $g$, los valores ya calculados en el apartado anterior dan el signo de la derivada en cada tramo, sin más que añadir el punto $x=-2$, que no pertenece al dominio.

$f'(-3)<0,\quad f'(-2{,}5)>0,\quad f'(-1)>0,\quad f'(0)<0,\quad f'(1)>0$



La derivada pasa de negativa a positiva en $x_1$, de positiva a negativa en $x_2$ y otra vez de negativa a positiva en $x_3$. En los tres hay cambio de signo, de manera que ninguno puede ser un punto de inflexión de tangente horizontal.

$x_1\approx -2{,}94 \Rightarrow \text{mínimo relativo}$

$x_2\approx -0{,}44 \Rightarrow \text{máximo relativo}$

$x_3\approx 0{,}38 \Rightarrow \text{mínimo relativo}$

Los tres puntos críticos son, por orden, un mínimo relativo, un máximo relativo y un mínimo relativo. Conviene notar que el mínimo de la rama izquierda vale $f(x_1)\approx 25{,}97$ y el máximo de la rama derecha, $f(x_2)\approx 0{,}59$: son extremos relativos de cada rama, no absolutos, porque la asíntota vertical $x=-2$ separa la gráfica en dos trozos independientes.