Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^4 - 6x^3 + e^{x}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$, que tiene la siguiente representación gráfica:



a) Calcule los límites de la función en los extremos de su dominio. [1 punto]

b) Calcule el área comprendida entre $f(x)$, $y = -1$, $x = 2$ y $x = 4$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule los límites de la función en los extremos de su dominio. [1 punto]}$

Antes de nada conviene simplificar la expresión, porque la raíz del denominador divide a los tres sumandos del numerador.

$f(x)=\dfrac{x^4-6x^3+e^{x}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^4}{\sqrt{x}}-\dfrac{6x^3}{\sqrt{x}}+e^{x}$

$f(x)=x^{7/2}-6x^{5/2}+e^{x}$

El dominio lo impone la raíz del denominador, que exige radicando no negativo y denominador no nulo, de modo que los extremos del dominio son $0$ y $+\infty$.

$\text{Dom}(f)=(0,+\infty)$

$\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left(x^{7/2}-6x^{5/2}+e^{x}\right)=0-0+1=1$

Para el otro extremo se saca factor común la potencia dominante de la parte polinómica y se compara con la exponencial.

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\left(x^{5/2}(x-6)+e^{x}\right)=+\infty$

La función tiende a 1 cuando $x$ se acerca a cero por la derecha —valor que no llega a alcanzar, porque el 0 no pertenece al dominio— y crece sin cota cuando $x$ tiende a infinito, empujada por la exponencial.

$\textbf{b) Calcule el área comprendida entre } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, } \boldsymbol{y = -1}\textbf{, } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 4}\textbf{. [1 punto]}$

Primero se decide qué curva queda por encima en el intervalo. Como la gráfica del enunciado ya muestra, en todo $[2,4]$ la función va por debajo de la recta, y se comprueba en los extremos.

$f(2)=2^{7/2}-6\cdot 2^{5/2}+e^{2}\approx -15{,}24$

$f(4)=4^{7/2}-6\cdot 4^{5/2}+e^{4}=128-192+e^4\approx -9{,}40$

Los dos valores son menores que $-1$ y la función es continua en el intervalo, así que el área es la integral de la diferencia «recta menos curva».

$A=\int_{2}^{4}\left(-1-f(x)\right)dx=\int_{2}^{4}\left(-1-x^{7/2}+6x^{5/2}-e^{x}\right)dx$

Se calcula una primitiva término a término, con la regla de la potencia y la de la exponencial.

$\int f(x)\,dx=\dfrac{2}{9}x^{9/2}-\dfrac{12}{7}x^{7/2}+e^{x}$

$A=\Big[-x\Big]_{2}^{4}-\left[\dfrac{2}{9}x^{9/2}-\dfrac{12}{7}x^{7/2}+e^{x}\right]_{2}^{4}$

Se evalúa cada corchete por separado.

$\Big[-x\Big]_{2}^{4}=-4+2=-2$

$\dfrac{2}{9}\cdot 4^{9/2}-\dfrac{12}{7}\cdot 4^{7/2}+e^{4}=\dfrac{1024}{9}-\dfrac{1536}{7}+e^{4}\approx -51{,}05$

$\dfrac{2}{9}\cdot 2^{9/2}-\dfrac{12}{7}\cdot 2^{7/2}+e^{2}=\dfrac{32\sqrt{2}}{9}-\dfrac{96\sqrt{2}}{7}+e^{2}\approx -6{,}98$

$\int_{2}^{4}f(x)\,dx\approx -51{,}05-(-6{,}98)=-44{,}08$

$A=-2-(-44{,}08)=42{,}08$

El valor exacto es $A=\dfrac{6530-640\sqrt{2}}{63}+e^{2}-e^{4}$, de modo que el recinto encerrado entre la curva, la recta $y=-1$ y las rectas verticales $x=2$ y $x=4$ mide aproximadamente 42,08 unidades de área.