Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

En un estudio de astronomía se modeliza una constelación artificial formada por satélites que orbitan alrededor de la Tierra. Considerando nuestro sistema de coordenadas con origen en el centro de la Tierra (donde las unidades representan decenas de miles de kilómetros), se sitúan 5 satélites, $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$, con coordenadas

$A(1,2,3), \qquad B(3,2,1), \qquad C(5,4,3), \qquad D(2,1,1), \qquad E(4,3,1).$

Se dice que diferentes satélites forman un plano orbital si estos, junto con el centro de la Tierra, son coplanarios.

a) Determine si los satélites $A$, $B$ y $C$ forman un plano orbital. [1 punto]

b) Proporcione un punto $F$ (diferente del origen) donde se podría colocar un sexto satélite para asegurar que los satélites $D$, $E$ y $F$ forman otro plano orbital. [1 punto]

$\textbf{a) Determine si los satélites } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ forman un plano orbital. [1 punto]}$

Según el enunciado, tres satélites forman un plano orbital cuando ellos y el centro de la Tierra son coplanarios. Tomando el origen $O(0,0,0)$ como punto de referencia, los vectores que llevan a los tres satélites son sus propios vectores de posición.

$\overrightarrow{OA}=(1,2,3), \qquad \overrightarrow{OB}=(3,2,1), \qquad \overrightarrow{OC}=(5,4,3)$

Cuatro puntos son coplanarios cuando los tres vectores que unen uno de ellos con los otros tres son linealmente dependientes, y eso ocurre exactamente cuando su determinante se anula.

$\det\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

Se desarrolla por la primera fila.

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \end{vmatrix} =1\,(2\cdot 3-1\cdot 4)-2\,(3\cdot 3-1\cdot 5)+3\,(3\cdot 4-2\cdot 5)$

$=1\cdot 2-2\cdot 4+3\cdot 2=2-8+6=0$

El determinante es nulo, luego los tres vectores son linealmente dependientes y los cuatro puntos están en un mismo plano. Podemos escribirlo: un vector normal es el producto vectorial de dos de ellos.

$\vec n=\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} =(-4,8,-4)$

Dividiendo entre $-4$ se obtiene el vector $(1,-2,1)$, y como el plano pasa por el origen su término independiente es nulo.

$\pi_1:\ x-2y+z=0$

$C(5,4,3):\ 5-2\cdot 4+3=5-8+3=0$

Los satélites $A$, $B$ y $C$ sí forman un plano orbital: junto con el centro de la Tierra están los cuatro en el plano $x-2y+z=0$.



$\textbf{b) Proporcione un punto } \boldsymbol{F}\textbf{ (diferente del origen) donde se podría colocar un sexto satélite para asegurar que los satélites } \boldsymbol{D}\textbf{, } \boldsymbol{E}\textbf{ y } \boldsymbol{F}\textbf{ forman otro plano orbital. [1 punto]}$

Los vectores $\overrightarrow{OD}=(2,1,1)$ y $\overrightarrow{OE}=(4,3,1)$ no son proporcionales, así que determinan un único plano que pasa por el origen. Basta entonces con hallar ese plano y elegir en él cualquier punto distinto del origen.

$\vec n=\overrightarrow{OD}\times\overrightarrow{OE}= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} =(1-3,\ 4-2,\ 6-4)=(-2,2,2)$

Dividiendo entre $-2$ queda el vector normal $(1,-1,-1)$ y, como el plano contiene al origen,

$\pi_2:\ x-y-z=0$

Cualquier punto que cumpla esa ecuación sirve. Tomamos, por ejemplo, el más sencillo con coordenadas enteras y distinto del origen.

$F(1,0,1):\quad 1-0-1=0$

Se comprueba que, en efecto, $O$, $D$, $E$ y $F$ son coplanarios.

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =2\,(3-0)-1\,(4-1)+1\,(0-3)=6-3-3=0$

Colocando el sexto satélite en el punto $F(1,0,1)$, los satélites $D$, $E$ y $F$ forman otro plano orbital, el de ecuación $x-y-z=0$. Cualquier otro punto de ese plano distinto del origen valdría igualmente.