Ejercicio resuelto de Sistema periódico · Química · 2026

a) Calcule la longitud de onda, $\lambda$, de un electrón que se mueve a $1/100$ de la velocidad de la luz en el vacío, $c$. [1,25 puntos]

Datos: $c = 299\,792\,458\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$, $h = 6{,}626\,068\,96\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$ y $m_{\text{e}} = 9{,}109\,382\,15\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$.

b) Conteste, razonadamente, las siguientes cuestiones. [1,25 puntos]

b.1) ¿Cuál es el valor mínimo del número cuántico $n$ compatible con $l = 0$? [0,25 puntos]

b.2) ¿Cuál es la letra utilizada, en la notación espectroscópica, para designar un orbital con $l = 3$? [0,25 puntos]

b.3) ¿Cuál es el número de orbitales asociados a $l = 2$? [0,25 puntos]

b.4) ¿Cuál es el número de espín-orbitales asociados a $l = 2$? [0,25 puntos]

b.5) ¿Cuál es el número de orbitales asociados a $n = 1$? [0,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule la longitud de onda de un electrón que se mueve a 1/100 de la velocidad de la luz en el vacío. [1,25 puntos]}$

A toda partícula en movimiento le corresponde, según la hipótesis de De Broglie, una longitud de onda inversamente proporcional a su cantidad de movimiento:

$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m_{\text{e}}\,v}$

La velocidad del electrón es la centésima parte de la de la luz:

$v=\frac{c}{100}=\frac{299\,792\,458}{100}=2{,}997\,924\,58\cdot10^{6}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Sustituyendo:

$\lambda=\frac{6{,}626\,068\,96\cdot10^{-34}}{9{,}109\,382\,15\cdot10^{-31}\cdot2{,}997\,924\,58\cdot10^{6}}=\frac{6{,}626\,068\,96\cdot10^{-34}}{2{,}730\,924\cdot10^{-24}}$

$\lambda=2{,}426\cdot10^{-10}\ \text{m}=242{,}6\ \text{pm}$

La longitud de onda asociada es de $2{,}426\cdot10^{-10}$ m, del orden de las distancias interatómicas en un cristal, y por eso los electrones acelerados sirven para hacer difracción y para «ver» en un microscopio electrónico con mucha más resolución que con luz visible. (Es, de hecho, la longitud de onda Compton del electrón dividida por $v/c$.)

$\textbf{b) Conteste, razonadamente, las siguientes cuestiones. [1,25 puntos]}$

Conviene recordar antes las reglas que ligan los cuatro números cuánticos: $n=1,2,3,\dots$; $l=0,1,\dots,n-1$; $m_l=-l,\dots,0,\dots,+l$, y $m_s=\pm\tfrac12$.

$\textbf{b.1)}$ El número cuántico secundario cumple $l\le n-1$, de modo que $l=0$ exige $n\ge1$. El valor mínimo es $n=1$, que corresponde al orbital $1s$.

$\textbf{b.2)}$ La correspondencia entre $l$ y la letra espectroscópica es $0\to s$, $1\to p$, $2\to d$ y $3\to f$. Para $l=3$ la letra es $\textbf{f}$.

$\textbf{b.3)}$ El número de orbitales de un subnivel lo da el número de valores posibles de $m_l$, que son $2l+1$. Para $l=2$:

$2\cdot2+1=5\ \text{orbitales}$

los cinco orbitales $d$.

$\textbf{b.4)}$ Un espín-orbital es un orbital con un valor concreto del espín, y cada orbital admite dos ($m_s=+\tfrac12$ y $-\tfrac12$):

$2\,(2l+1)=2\cdot5=10\ \text{espín-orbitales}$

que es también el número máximo de electrones que caben en un subnivel $d$.

$\textbf{b.5)}$ El número de orbitales de un nivel es $n^{2}$. Para $n=1$ solo cabe $l=0$ y $m_l=0$:

$n^{2}=1\ \text{orbital}$

el $1s$, con capacidad para dos electrones.