Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Asturias · 2025

Un protón se acelera en un acelerador lineal de partículas con una energía cinética de 120 eV. Calcule:

a) la longitud de onda asociada al protón. [0,5 puntos]

b) la longitud de onda que tendría un fotón con la misma energía que el protón. [0,5 puntos]

c) la longitud de onda de De Broglie asociada a un diminuto grano de arena de $0{,}35\ \mu\text{g}$ de masa y que se mueve con la misma velocidad que la del protón. [1 punto]

Datos: $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; $c = 3{,}0\cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$; $m_{p^+} = 1{,}7\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$; $|q_{p^+}| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) La longitud de onda asociada al protón. [0,5 puntos]}$

La energía cinética del protón, en unidades del SI, es

$E_c=120\ \text{eV}=120\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=1{,}92\cdot10^{-17}\ \text{J}$

y de ella sale su velocidad y su cantidad de movimiento:

$E_c=\frac12\,m_p\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2E_c}{m_p}}=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}92\cdot10^{-17}}{1{,}7\cdot10^{-27}}}=1{,}50\cdot10^{5}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La longitud de onda asociada la da la hipótesis de De Broglie:

$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m_p\,v}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{1{,}7\cdot10^{-27}\cdot1{,}50\cdot10^{5}}$

$\lambda=2{,}59\cdot10^{-12}\ \text{m}$

El protón lleva asociada una longitud de onda de $2{,}59\cdot10^{-12}\ \text{m}$, unos 2,6 pm. Puede calcularse de una vez con $\lambda=h/\sqrt{2\,m_p\,E_c}$, que evita arrastrar el redondeo de la velocidad.

$\textbf{b) La longitud de onda que tendría un fotón con la misma energía que el protón. [0,5 puntos]}$

El fotón no tiene masa, y su energía se relaciona con la longitud de onda de otra forma:

$E=h\,\nu=\frac{h\,c}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\frac{h\,c}{E}$

$\lambda=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}0\cdot10^{8}}{1{,}92\cdot10^{-17}}=1{,}04\cdot10^{-8}\ \text{m}$

El fotón de la misma energía tendría $1{,}04\cdot10^{-8}\ \text{m}$, es decir, unos 10,4 nm: ultravioleta lejano. Es cuatro mil veces mayor que la del protón, y la moraleja es que no puede aplicarse la misma fórmula a los dos: para el protón, $\lambda=h/mv$; para el fotón, $\lambda=hc/E$.

$\textbf{c) La longitud de onda de De Broglie asociada a un diminuto grano de arena de 0,35 μg de masa y que se mueve con la misma velocidad que la del protón. [1 punto]}$

La masa del grano en el SI es

$m=0{,}35\ \mu\text{g}=0{,}35\cdot10^{-6}\ \text{g}=3{,}5\cdot10^{-10}\ \text{kg}$

y con la misma velocidad del apartado a):

$\lambda=\frac{h}{m\,v}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{3{,}5\cdot10^{-10}\cdot1{,}50\cdot10^{5}}$

$\lambda=1{,}26\cdot10^{-29}\ \text{m}$

La longitud de onda del grano de arena es de $1{,}26\cdot10^{-29}\ \text{m}$. Para hacerse una idea: es unas $10^{14}$ veces menor que el diámetro de un núcleo atómico. Ningún experimento puede revelar un carácter ondulatorio a esa escala, y por eso los objetos macroscópicos —aunque las ecuaciones les asignen una longitud de onda— se comportan siempre como partículas clásicas. La razón entre las dos longitudes es justamente la razón inversa de las masas: $3{,}5\cdot10^{-10}/1{,}7\cdot10^{-27}\approx2\cdot10^{17}$.