Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

El planeta Urano tiene una masa de $8{,}68\cdot 10^{25}\ \text{kg}$ y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie es de $8{,}9\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$. Calcule:

a) el radio medio de Urano y la velocidad de escape en su superficie. [1 punto]

b) Si se deja caer una piedra desde una altura de 1 m sobre la superficie del planeta, ¿cuál será su velocidad al chocar con la superficie? [1 punto]

Nota: cualquier expresión aproximada que sea utilizada sobre la variación de la energía de la piedra, o la aceleración a la que está sometida en su movimiento, debe ser justificada.

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) El radio medio de Urano y la velocidad de escape en su superficie. [1 punto]}$










La gravedad en la superficie es el campo creado por la masa del planeta a una distancia igual a su radio:

$g=G\frac{M}{R^2}\Rightarrow R=\sqrt{\frac{G\,M}{g}}$

De ahí sale el radio, y con él la velocidad de escape.





$R=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}68\cdot10^{25}}{8{,}9}}=2{,}55\cdot10^{7}\ \text{m}$

El radio medio de Urano es de $2{,}55\cdot10^{7}\ \text{m}$, unos $25\,500\ \text{km}$, cuatro veces el terrestre.

La velocidad de escape se obtiene imponiendo que un cuerpo lanzado desde la superficie llegue al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica cero:

$-G\frac{M\,m}{R}+\frac12\,m\,v_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}=\sqrt{2\,g\,R}$

La segunda forma es más cómoda, porque evita repetir el producto $G\,M$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\cdot8{,}9\cdot2{,}55\cdot10^{7}}=2{,}13\cdot10^{4}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La velocidad de escape es de $21{,}3\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$, casi el doble de la terrestre.

$\textbf{b) Si se deja caer una piedra desde una altura de 1 m sobre la superficie del planeta, ¿cuál será su velocidad al chocar con la superficie? [1 punto]}$

Aquí sí cabe usar la aproximación de campo uniforme, y el enunciado pide justificarla. La razón es que la altura de caída es ridícula frente al radio del planeta:

$\frac{h}{R}=\frac{1}{2{,}55\cdot10^{7}}=3{,}9\cdot10^{-8}$

de modo que la gravedad en el punto de partida y en el de llegada difieren en una parte entre veinte millones: $g(R+h)/g(R)=(R/(R+h))^2\approx1-2h/R$. Con $g$ constante, la conservación de la energía mecánica da

$m\,g\,h=\frac12\,m\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{2\,g\,h}$

$v=\sqrt{2\cdot8{,}9\cdot1}=4{,}22\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La piedra llega al suelo a $4{,}22\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, un poco más deprisa que en la Tierra ($4{,}43\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ serían con $g=9{,}8$; aquí sale menos porque la gravedad de Urano, pese a su enorme masa, es algo inferior a la terrestre: su radio es cuatro veces mayor).

Si no quisiera hacerse la aproximación, la expresión exacta sería $v=\sqrt{2GM\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)}$, que da el mismo $4{,}22\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ con todas las cifras que quepan en la calculadora.