Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2025

Si la energía total relativista de un protón es el triple de su energía en estado de reposo, determine:

a) ¿Cuál es el valor de la energía en reposo del protón? [0,5 puntos]

b) ¿Qué velocidad lleva el protón? [1 punto]

c) ¿Qué energía cinética tiene el protón? [0,5 puntos]

Datos: $m_{p^+} = 1{,}7\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$; $c = 3{,}0\cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) ¿Cuál es el valor de la energía en reposo del protón? [0,5 puntos]}$

La equivalencia entre masa y energía de la relatividad especial da la energía que un cuerpo tiene por el mero hecho de tener masa, aun estando en reposo:

$E_0=m_p\,c^2=1{,}7\cdot10^{-27}\cdot(3{,}0\cdot10^{8})^2$

$E_0=1{,}53\cdot10^{-10}\ \text{J}$

Expresada en electronvoltios, que es la unidad habitual en física nuclear:

$E_0=\frac{1{,}53\cdot10^{-10}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=9{,}56\cdot10^{8}\ \text{eV}=956\ \text{MeV}$

La energía en reposo del protón es $1{,}53\cdot10^{-10}\ \text{J}$, unos $956\ \text{MeV}$ (el valor tabulado con la masa exacta del protón es 938 MeV; la diferencia viene del redondeo del dato del enunciado).

$\textbf{b) ¿Qué velocidad lleva el protón? [1 punto]}$

La energía total de una partícula que se mueve con velocidad $v$ es

$E=\gamma\,m_p\,c^2=\frac{m_p\,c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Si esa energía es el triple de la de reposo, el factor de Lorentz vale exactamente 3:

$\frac{E}{E_0}=\gamma=3\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=3\Rightarrow 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac19$

$\frac{v^2}{c^2}=\frac89\Rightarrow v=c\sqrt{\frac89}=0{,}943\,c$

$v=0{,}943\cdot3{,}0\cdot10^{8}=2{,}83\cdot10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

El protón viaja a $2{,}83\cdot10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, el 94,3 % de la velocidad de la luz. Obsérvese que triplicar la energía no triplica la velocidad: la velocidad no puede pasar de $c$, y toda la energía extra se traduce en aumento de la masa relativista.

$\textbf{c) ¿Qué energía cinética tiene el protón? [0,5 puntos]}$

La energía cinética relativista es lo que le sobra a la energía total sobre la de reposo:

$E_c=E-E_0=3E_0-E_0=2E_0=2\cdot1{,}53\cdot10^{-10}$

$E_c=3{,}06\cdot10^{-10}\ \text{J}=1{,}91\cdot10^{9}\ \text{eV}=1{,}91\ \text{GeV}$

La energía cinética vale $3{,}06\cdot10^{-10}\ \text{J}$, es decir, $1{,}91\ \text{GeV}$. Sirve de comprobación ver lo lejos que queda de la expresión clásica: $\frac12 m_p v^2=6{,}8\cdot10^{-11}\ \text{J}$, menos de la cuarta parte del valor correcto. A estas velocidades la fórmula newtoniana ya no vale.