Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Asturias · 2025

En un laboratorio de materiales nucleares se investigan las propiedades de una sustancia radiactiva mediante un detector de radiación Geiger-Müller, cuya medida de la actividad inicial del radioisótopo arroja un valor de 12,96 kBq. Un día después se vuelve a medir la actividad del radioisótopo y se obtiene un nuevo valor de 9,63 kBq.

a) Determine el período de semidesintegración del isótopo radiactivo de la sustancia. [1 punto]

b) Si la masa inicial del radioisótopo es de 24 g, calcule la masa de la sustancia que habría al día siguiente en el laboratorio. [0,5 puntos]

c) ¿Cuál sería la vida media de un núcleo de este isótopo radiactivo? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine el período de semidesintegración del isótopo radiactivo de la sustancia. [1 punto]}$










La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos que quedan sin desintegrar, así que decae con la misma exponencial:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$

Con las dos medidas del Geiger, separadas un día, se despeja la constante de desintegración.





$\frac{A}{A_0}=e^{-\lambda t}\Rightarrow \lambda=\frac{1}{t}\ln\frac{A_0}{A}=\frac{1}{1}\ln\frac{12{,}96}{9{,}63}$

$\lambda=0{,}297\ \text{días}^{-1}$

Y con ella el período de semidesintegración:

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}=\frac{0{,}693}{0{,}297}=2{,}33\ \text{días}$

El período de semidesintegración es de $2{,}33$ días, unas 56 horas. Nótese que no ha hecho falta conocer el número de núcleos: basta el cociente de dos actividades y el tiempo transcurrido entre ellas.

$\textbf{b) Si la masa inicial del radioisótopo es de 24 g, calcule la masa de la sustancia que habría al día siguiente en el laboratorio. [0,5 puntos]}$

La masa de sustancia radiactiva es proporcional al número de núcleos y, por tanto, decae con la misma ley:

$m=m_0\,e^{-\lambda t}=24\cdot e^{-0{,}297\cdot 1}$

$m=17{,}8\ \text{g}$

Al día siguiente quedan $17{,}8\ \text{g}$. Se llega al mismo resultado sin exponenciales, sin más que usar la proporción entre actividades que ya da el enunciado:

$m=m_0\,\frac{A}{A_0}=24\cdot\frac{9{,}63}{12{,}96}=17{,}8\ \text{g}$

Conviene precisar que esos 17,8 g son la masa de isótopo radiactivo que aún no se ha desintegrado; la masa total en el laboratorio apenas cambia, porque los núcleos hijos siguen allí.

$\textbf{c) ¿Cuál sería la vida media de un núcleo de este isótopo radiactivo? [0,5 puntos]}$

La vida media es el tiempo que por término medio tarda un núcleo en desintegrarse, y es el inverso de la constante de desintegración:

$\tau=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0{,}297}=3{,}37\ \text{días}$

La vida media vale $3{,}37$ días. Siempre es mayor que el período de semidesintegración —en la razón $\tau=T_{1/2}/\ln 2=1{,}44\,T_{1/2}$— porque la cola de la exponencial, aunque poco poblada, alarga bastante el promedio.