Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2025

El jefe de la estación de tren de Campomanes está sentado en un banco del andén mientras escucha el pitido de la locomotora de un tren emitido con una frecuencia de 1000 Hz, que se aleja de la estación dirigiéndose hacia el túnel de una montaña cercana, con una velocidad de 70 km/h.

a) Justifique adecuadamente si la frecuencia del pitido que percibe el jefe de estación es igual, menor o mayor que la del pitido emitido directamente por la locomotora. [0,5 puntos]

Mientras la locomotora se acerca al túnel, el sonido del pitido emitido se refleja en la montaña cercana. Compare la frecuencia del pitido de la locomotora que recibe la montaña con la propia frecuencia del eco del pitido que perciben los siguientes observadores:

b) el jefe de estación. [0,75 puntos]

c) un viajero del tren. [0,75 puntos]

Dato: $v_{\text{sonido}} = 340\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) Justifique adecuadamente si la frecuencia del pitido que percibe el jefe de estación es igual, menor o mayor que la del pitido emitido directamente por la locomotora. [0,5 puntos]}$










Es un problema de efecto Doppler con tres papeles distintos: el jefe, en reposo, del que la locomotora se aleja; la montaña, en reposo, a la que la locomotora se acerca; y el viajero, que se mueve con el tren.

La expresión general, con el sonido a $v=340\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, es





$f'=f\,\frac{v\pm v_o}{v\mp v_f}$

donde los signos se eligen de modo que el acercamiento aumente la frecuencia. La velocidad del tren en unidades del SI es

$v_f=70\ \frac{\text{km}}{\text{h}}=\frac{70\cdot1000}{3600}=19{,}4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Como la fuente se aleja del jefe, los frentes de onda le llegan más espaciados y la frecuencia percibida es menor que la emitida:

$f_{\text{jefe}}=f\,\frac{v}{v+v_f}=1000\cdot\frac{340}{340+19{,}4}=946\ \text{Hz}$

El jefe de estación percibe unos $946\ \text{Hz}$, es decir, un sonido más grave que los 1000 Hz emitidos.

$\textbf{b) Compare la frecuencia del pitido que recibe la montaña con la del eco que percibe el jefe de estación. [0,75 puntos]}$

La locomotora se acerca a la montaña, de manera que esta recibe una frecuencia mayor que la emitida:

$f_1=f\,\frac{v}{v-v_f}=1000\cdot\frac{340}{340-19{,}4}=1{,}06\cdot10^{3}\ \text{Hz}$

La montaña recibe $1061\ \text{Hz}$. Al reflejarse, la montaña se comporta como una fuente en reposo que emite precisamente esa frecuencia $f_1$: el eco no vuelve a modificarse por el movimiento del tren, porque quien lo emite ya no se mueve.

Y como el jefe de estación también está en reposo, no hay Doppler en el camino de vuelta:

$f_{\text{eco,jefe}}=f_1=1{,}06\cdot10^{3}\ \text{Hz}$

El eco que oye el jefe tiene exactamente la misma frecuencia que recibió la montaña, $1061\ \text{Hz}$. Es curioso el contraste con el apartado a): el jefe oye a la vez el pitido directo, más grave (946 Hz), y su eco, más agudo (1061 Hz). Esa diferencia de unos 115 Hz entre los dos sonidos es perfectamente audible.

$\textbf{c) Compare la frecuencia del pitido que recibe la montaña con la del eco que percibe un viajero del tren. [0,75 puntos]}$

El viajero se mueve con el tren, o sea, hacia la montaña, que es la fuente del eco. Ahora sí hay Doppler en la vuelta, y con el observador acercándose la frecuencia aumenta:

$f_{\text{eco,viajero}}=f_1\,\frac{v+v_f}{v}=1{,}06\cdot10^{3}\cdot\frac{340+19{,}4}{340}$

$f_{\text{eco,viajero}}=1{,}12\cdot10^{3}\ \text{Hz}$

El viajero percibe el eco a $1121\ \text{Hz}$, todavía más agudo que los $1061\ \text{Hz}$ que recibe la montaña. El desplazamiento se produce dos veces, primero al emitir el tren en movimiento y luego al recibir el observador en movimiento, y esa doble aplicación es la base de los radares Doppler y de las ecografías de flujo sanguíneo.