Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

El satélite meteorológico de tercera generación Meteosat 12 (MTG-I1) tiene una masa de 3600 kg y describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 35,8 km.

a) Determine el período de la órbita y la velocidad orbital alrededor de la Tierra. [1 punto]

b) Calcule la energía mínima que hay que suministrar al satélite desde su órbita para que escape de la atracción del campo gravitatorio terrestre. [1 punto]

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) Determine el período de la órbita y la velocidad orbital alrededor de la Tierra. [1 punto]}$










En una órbita circular la única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, que actúa como fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\frac{M_T\,m}{r^2}=\frac{m\,v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{G\,M_T}{r}}$

El radio se mide desde el centro de la Tierra, nunca desde la superficie.





$r=R_T+h=6{,}370\cdot10^{6}+3{,}58\cdot10^{4}=6{,}406\cdot10^{6}\ \text{m}$

$v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}406\cdot10^{6}}}=7{,}88\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

El período se obtiene del movimiento circular uniforme:

$T=\frac{2\pi\,r}{v}=\frac{2\pi\cdot6{,}406\cdot10^{6}}{7{,}88\cdot10^{3}}$

$T=5{,}10\cdot10^{3}\ \text{s}=85{,}1\ \text{min}=1{,}42\ \text{h}$

La velocidad orbital es de $7{,}88\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$ y el período, de 85 minutos.

Conviene advertir de que el dato del enunciado, $h=35{,}8\ \text{km}$, no puede ser el del Meteosat: un satélite meteorológico de esa serie es geoestacionario y orbita a $35\,800\ \text{km}$, no a 35,8 km. Con 35,8 km la órbita quedaría dentro de la atmósfera —de ahí que salga un período de hora y media, el propio de un satélite rasante—. Se ha resuelto con el dato tal y como aparece; con los 35 800 km reales saldrían $v=3{,}07\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$ y $T=24\ \text{h}$, que es lo que se espera de un geoestacionario.

$\textbf{b) Calcule la energía mínima que hay que suministrar al satélite desde su órbita para que escape de la atracción del campo gravitatorio terrestre. [1 punto]}$

La energía mecánica de un satélite en órbita circular es la mitad de la potencial, y negativa:

$E_m=E_c+E_p=\frac12\,m\,v^2-G\frac{M_T\,m}{r}=\frac{G\,M_T\,m}{2r}-G\frac{M_T\,m}{r}=-\frac{G\,M_T\,m}{2r}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica cero. La energía mínima que hay que aportar —llamada energía de escape desde la órbita— es la diferencia:

$\Delta E=0-E_m=\frac{G\,M_T\,m}{2r}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot3600}{2\cdot6{,}406\cdot10^{6}}$

$\Delta E=1{,}12\cdot10^{11}\ \text{J}$

Hay que suministrarle $1{,}12\cdot10^{11}\ \text{J}$. Equivale a comunicarle una velocidad adicional hasta alcanzar la de escape en esa órbita, $v_{\text{esc}}=\sqrt{2}\,v=11{,}2\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$: la velocidad de escape es siempre $\sqrt{2}$ veces la orbital a esa misma distancia.