Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Dos masas puntuales de 5 kg y 20 kg se hallan situadas en los puntos de coordenadas $A\,(-2, 0)\ \text{m}$ y $B\,(4, 0)\ \text{m}$, respectivamente.

a) Realice un esquema y determine la intensidad del campo gravitatorio debido a ambas masas en el punto $C\,(0, 0)\ \text{m}$. [1 punto]

b) Calcule el potencial gravitatorio en el punto $C\,(0, 0)\ \text{m}$. [0,5 puntos]

c) Determine el trabajo necesario para llevar una tercera masa de 1 kg desde el punto $C$ hasta el punto $D\,(3, 0)\ \text{m}$. Justifique el signo del trabajo y razone si su valor depende de la trayectoria seguida por la masa. [0,5 puntos]

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Realice un esquema y determine la intensidad del campo gravitatorio debido a ambas masas en el punto C (0, 0) m. [1 punto]}$










El campo gravitatorio de cada masa apunta hacia ella y vale $g=G\,m/r^2$. El punto $C$ está entre las dos masas, así que los dos campos tienen sentidos opuestos sobre el eje $X$.

Las distancias son $r_A=2\ \text{m}$ y $r_B=4\ \text{m}$.





$g_A=G\frac{m_A}{r_A^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{5}{2^2}=8{,}34\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$

$g_B=G\frac{m_B}{r_B^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{20}{4^2}=8{,}34\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$

Los dos módulos coinciden: la masa de $B$ es cuatro veces mayor, pero está al doble de distancia y la distancia entra al cuadrado. Como $\vec g_A$ apunta hacia $-x$ y $\vec g_B$ hacia $+x$:

$\vec g_C=\vec g_A+\vec g_B=(-8{,}34\cdot10^{-11}+8{,}34\cdot10^{-11})\,\vec\imath=\vec 0$

El campo gravitatorio en $C$ es nulo. Es el único punto del segmento en el que ocurre, y el hecho de que caiga justo en el origen se debe a la relación $m_B/m_A=4=(r_B/r_A)^2$.

$\textbf{b) Calcule el potencial gravitatorio en el punto C (0, 0) m. [0,5 puntos]}$

El potencial es un escalar, siempre negativo, y se suma sin más:

$V_C=-G\frac{m_A}{r_A}-G\frac{m_B}{r_B}=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{5}{2}+\frac{20}{4}\right)$

$V_C=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}5=-5{,}00\cdot10^{-10}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$

El potencial vale $-5{,}00\cdot10^{-10}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$. Obsérvese que el campo se anula en $C$ y sin embargo el potencial no: son dos magnitudes distintas y una puede ser nula sin que lo sea la otra.

$\textbf{c) Determine el trabajo necesario para llevar una tercera masa de 1 kg desde el punto C hasta el punto D (3, 0) m. Justifique el signo del trabajo y razone si su valor depende de la trayectoria seguida por la masa. [0,5 puntos]}$

En $D\,(3,0)$ las distancias son $r_A'=5\ \text{m}$ y $r_B'=1\ \text{m}$:

$V_D=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{5}{5}+\frac{20}{1}\right)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot21=-1{,}40\cdot10^{-9}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$

El trabajo que realiza el campo gravitatorio es

$W_{\text{campo}}=m\,(V_C-V_D)=1\cdot(-5{,}00\cdot10^{-10}+1{,}40\cdot10^{-9})$

$W_{\text{campo}}=9{,}00\cdot10^{-10}\ \text{J}$

y el trabajo que hay que realizar desde fuera es el opuesto:

$W_{\text{ext}}=-9{,}00\cdot10^{-10}\ \text{J}$

El signo se justifica solo: la masa se acerca al cuerpo de 20 kg, hacia potenciales menores, así que es el propio campo el que hace el trabajo (positivo) y quien la traslade no tiene que aportar energía, sino frenarla; de ahí que el trabajo exterior salga negativo.

Y no, el valor no depende de la trayectoria. El campo gravitatorio es conservativo: el trabajo solo depende de los potenciales del punto inicial y del final, y por eso se ha podido calcular sin saber cómo va la masa de $C$ a $D$. En un camino cerrado el trabajo sería nulo.