Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Asturias · 2026

Nos desplazamos a Cerdanyola del Vallès para realizar un experimento de difracción de rayos X en el Sincrotrón ALBA, que es un instituto de investigación internacional. En este centro se producen fotones para el análisis de materiales y estudiar sus propiedades. En nuestro experimento vamos a utilizar fotones con una longitud de onda $\lambda = 0{,}15\ \text{nm}$.

a) ¿Cuál es la energía de dichos fotones? Exprésela en unidades del S.I. y en eV. [1 punto]

b) Si un electrón poseyera la misma energía cinética que los fotones del apartado anterior, ¿cuál sería su longitud de onda? No es necesario aplicar correcciones relativistas. [1 punto]

Datos: $h = 6{,}626\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$; $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $|q_e| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) ¿Cuál es la energía de dichos fotones? Exprésela en unidades del S.I. y en eV. [1 punto]}$

La energía de un fotón viene dada por la hipótesis de Planck, y su frecuencia se relaciona con la longitud de onda a través de la velocidad de la luz:

$E=h\,\nu=\frac{h\,c}{\lambda}$

Con $\lambda=0{,}15\ \text{nm}=1{,}5\cdot10^{-10}\ \text{m}$:

$E=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{1{,}5\cdot10^{-10}}$

$E=1{,}33\cdot10^{-15}\ \text{J}$

Para pasarlo a electronvoltios se divide entre la carga elemental, que es el número de julios que corresponde a 1 eV:

$E=\frac{1{,}33\cdot10^{-15}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=8{,}28\cdot10^{3}\ \text{eV}=8{,}28\ \text{keV}$

Los fotones tienen una energía de $1{,}33\cdot10^{-15}\ \text{J}$, es decir, $8{,}28\ \text{keV}$. Es el orden de magnitud propio de los rayos X, unas mil veces la energía de un fotón de luz visible, y por eso son capaces de sondear las distancias interatómicas de un cristal.

$\textbf{b) Si un electrón poseyera la misma energía cinética que los fotones del apartado anterior, ¿cuál sería su longitud de onda? No es necesario aplicar correcciones relativistas. [1 punto]}$

Cuidado con la tentación de aplicar al electrón la misma fórmula que al fotón: el fotón no tiene masa y su energía es $hc/\lambda$, mientras que la del electrón es cinética. Se calcula primero su velocidad:

$E_c=\frac12\,m_e\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2E_c}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}33\cdot10^{-15}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}$

$v=5{,}40\cdot10^{7}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

y con ella su longitud de onda de De Broglie:

$\lambda_e=\frac{h}{m_e\,v}=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot5{,}40\cdot10^{7}}$

$\lambda_e=1{,}35\cdot10^{-11}\ \text{m}=0{,}0135\ \text{nm}$

Puede obtenerse de una sola vez combinando las dos expresiones, $\lambda_e=h/\sqrt{2\,m_e\,E_c}$, que da el mismo resultado.

La longitud de onda del electrón es de $1{,}35\cdot10^{-11}\ \text{m}$, once veces menor que la del fotón de igual energía. La velocidad obtenida es el 18 % de la de la luz, de modo que la advertencia del enunciado sobre las correcciones relativistas está justificada: son pequeñas, pero ya no del todo despreciables.