Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

El mayor de los satélites que orbitan en torno a Saturno es Titán. Si en una erupción desde uno de los volcanes en la superficie de Titán saliera una roca alcanzando una altura de 300 km sobre la superficie, calcule:

a) La velocidad inicial que la roca volcánica posee durante la erupción justo en la superficie de Titán. [1 punto]

b) La relación entre velocidad de escape en Titán y en la Tierra. [1 punto]

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{kg}^{-2}$; $R_{\text{Titán}} = 2{,}574\cdot 10^{6}\ \text{m}$; $M_{\text{Titán}} = 1{,}35\cdot 10^{23}\ \text{kg}$; $R_{\text{Tierra}} = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) La velocidad inicial que la roca volcánica posee durante la erupción justo en la superficie de Titán. [1 punto]}$










La única fuerza que actúa sobre la roca una vez ha salido del volcán es la gravitatoria, que es conservativa: se conserva la energía mecánica entre la superficie y el punto más alto, donde la roca se detiene ($v=0$) antes de caer.

No puede usarse $v^2=2gh$: 300 km no es despreciable frente al radio de Titán y la gravedad no es constante en ese tramo.





$-G\frac{M\,m}{R}+\frac12\,m\,v_0^2=-G\frac{M\,m}{R+h}+0$

Simplificando la masa de la roca y despejando:

$v_0=\sqrt{2\,G\,M\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)}$

Con $R=2{,}574\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $R+h=2{,}574\cdot10^{6}+3{,}00\cdot10^{5}=2{,}874\cdot10^{6}\ \text{m}$:

$v_0=\sqrt{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}35\cdot10^{23}\left(\frac{1}{2{,}574\cdot10^{6}}-\frac{1}{2{,}874\cdot10^{6}}\right)}$

$v_0=8{,}55\cdot10^{2}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La roca sale del volcán a $855\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Sirve de comprobación estimar la gravedad superficial de Titán, $g=G M/R^2=1{,}36\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$: con esa gravedad supuesta constante saldría $v=\sqrt{2gh}=903\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, un 6 % más, que es justo el error que se comete al no tener en cuenta que la gravedad disminuye con la altura.

$\textbf{b) La relación entre velocidad de escape en Titán y en la Tierra. [1 punto]}$

La velocidad de escape se obtiene imponiendo que la energía mecánica sea nula, es decir, que el cuerpo llegue al infinito con velocidad cero:

$-G\frac{M\,m}{R}+\frac12\,m\,v_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$

En Titán:

$v_{\text{esc,T}}=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}35\cdot10^{23}}{2{,}574\cdot10^{6}}}=2{,}65\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

En la Tierra:

$v_{\text{esc,Tierra}}=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^{6}}}=1{,}12\cdot10^{4}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La relación pedida es

$\frac{v_{\text{esc,T}}}{v_{\text{esc,Tierra}}}=\sqrt{\frac{M_T\,R_{\text{Tierra}}}{M_{\text{Tierra}}\,R_T}}=\frac{2{,}65\cdot10^{3}}{1{,}12\cdot10^{4}}=0{,}237$

Escapar de Titán exige solo el 23,7 % de la velocidad que hace falta en la Tierra: la terrestre es 4,2 veces mayor. Por eso Titán, pese a ser un satélite, conserva atmósfera: sus moléculas frías no alcanzan esos 2,65 km/s con facilidad.