Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Un banco quiere estimar la proporción de clientes que realizan todas sus gestiones por internet.

a) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la verdadera proporción de clientes que realizan todas sus gestiones por internet a partir de la proporción muestral con un error de estimación máximo de 0,05 y un nivel de confianza del 99 %. [1 punto]

b) A partir de una muestra aleatoria de 600 clientes se construyó un intervalo de confianza al nivel de confianza del 95 % para estimar la proporción de clientes que realizan todas sus gestiones por internet. El intervalo resultante fue $(0{,}395;\ 0{,}475)$. ¿Cuántos clientes, de los 600 de la muestra, realizaron todas sus gestiones por internet? [1 punto]

c) Según el intervalo de confianza del apartado anterior, ¿tiene sentido pensar que la verdadera proporción de clientes en la población que realizan todas sus gestiones por internet sea 0,5? Responda intentando medir o estimar de alguna forma cuánto se fía de su razonamiento. [0,5 puntos]

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(1{,}28) = 0{,}90$; $F(1{,}64) = 0{,}95$; $F(1{,}96) = 0{,}975$; $F(2{,}33) = 0{,}99$; $F(2{,}58) = 0{,}995$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha)100\,\%$, para la proporción poblacional, a partir de una muestra de tamaño $n$ suficientemente grande (habitualmente se considera $n \ge 100$): $\left(\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\ \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$, con $F(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$.

$\textbf{a) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la proporción con un error máximo de 0,05 y un nivel de confianza del 99 \%. [1 punto]}$

El error de estimación de una proporción es

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}$

y aquí aparece una dificultad: no se conoce $\hat p$, porque todavía no se ha tomado la muestra. Se recurre entonces al caso más desfavorable, que es $\hat p=0{,}5$, el valor que hace máximo el producto $\hat p\,(1-\hat p)=0{,}25$. Así el tamaño obtenido garantiza el error sea cual sea la proporción real.

Para el 99 % de confianza, $F(z_{\alpha/2})=1-0{,}01/2=0{,}995$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=2{,}58$:

$n\ge\frac{z_{\alpha/2}^{2}\cdot0{,}25}{E^{2}}=\frac{2{,}58^{2}\cdot0{,}25}{0{,}05^{2}}=\frac{6{,}6564\cdot0{,}25}{0{,}0025}$

$n\ge665{,}64$

$n=666\ \text{clientes}$

$\textbf{b) ¿Cuántos clientes, de los 600 de la muestra, realizaron todas sus gestiones por internet? [1 punto]}$

El intervalo está centrado en la proporción muestral:

$\hat p=\frac{0{,}395+0{,}475}{2}=\frac{0{,}87}{2}=0{,}435$

y el número de clientes es esa proporción por el tamaño de la muestra:

$600\cdot0{,}435=261\ \text{clientes}$

(Se puede comprobar la coherencia del intervalo: su semiamplitud es 0,04, y $1{,}96\sqrt{0{,}435\cdot0{,}565/600}=1{,}96\cdot0{,}02024=0{,}0397$, en efecto el error del 95 %.)

$\textbf{c) Según el intervalo anterior, ¿tiene sentido pensar que la verdadera proporción sea 0,5? [0,5 puntos]}$

No, no parece razonable. El intervalo de confianza al 95 % es $(0{,}395;\ 0{,}475)$, y el valor $0{,}5$ queda $\textbf{fuera}$ de él, por encima del extremo superior.

En cuanto a cuánto fiarse de ese razonamiento: el nivel de confianza es del 95 %, lo que significa que si se repitiera el muestreo muchas veces, el 95 % de los intervalos construidos de esta forma contendrían la proporción verdadera. Descartar el 0,5 conlleva, por tanto, un riesgo de equivocarse de aproximadamente el 5 %.

Se puede añadir un matiz que refuerza la conclusión: $0{,}5$ no está justo en el borde, sino a una distancia apreciable —el extremo superior es 0,475—, de modo que haría falta un nivel de confianza bastante mayor para que el intervalo llegara a incluirlo. En concreto, con $z=(0{,}5-0{,}435)/0{,}02024=3{,}21$, que corresponde a una confianza superior al 99,8 %.