Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El peso de los yogures de cierta marca sigue distribución normal con desviación típica 2,7 g.

a) ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero peso medio a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 0,5 g y un nivel de confianza del 95 %? [1 punto]

b) Para verificar si el peso medio es realmente el que indica el envase, un cliente pesa 100 yogures obteniendo para ellos un peso medio de 148,5 g. De entre los siguientes intervalos, ¿cuál es imposible que sea un intervalo de confianza construido a partir de esta muestra para el peso medio de los yogures? De los tres restantes, ¿cuál tiene un mayor nivel de confianza y cuál es, en ese caso, el nivel? [1,5 puntos]

(1) $(147{,}971;\ 149{,}029)$

(2) $(147{,}871;\ 149{,}129)$

(3) $(149{,}371;\ 150{,}629)$

(4) $(148{,}057;\ 148{,}943)$

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(1{,}28) = 0{,}90$; $F(1{,}64) = 0{,}95$; $F(1{,}96) = 0{,}975$; $F(2{,}33) = 0{,}99$; $F(2{,}58) = 0{,}995$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha)100\,\%$, para la media poblacional de una variable con distribución normal de varianza conocida, a partir de una muestra de tamaño $n$: $\left(\overline{x} - z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x} + z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$, con $F(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$.

$\textbf{a) ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el peso medio con un error máximo de 0,5 g y un nivel de confianza del 95 \%? [1 punto]}$

El error máximo de estimación de la media es

$E=z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt n}$

Para el 95 % de confianza la tabla da $F(1{,}96)=0{,}975$, luego $z_{\alpha/2}=1{,}96$. Con $\sigma=2{,}7$ g y $E\le0{,}5$ g:

$\sqrt n\ge\frac{1{,}96\cdot2{,}7}{0{,}5}=10{,}584$

$n\ge10{,}584^{2}=112{,}02$

$n=113\ \text{yogures}$

Se redondea siempre hacia arriba: con 112 el error se pasaría por poco de los 0,5 g exigidos.

$\textbf{b) ¿Cuál de los intervalos es imposible? De los tres restantes, ¿cuál tiene mayor nivel de confianza y cuál es ese nivel? [1,5 puntos]}$

Todo intervalo construido a partir de esa muestra tiene que estar centrado en la media muestral, $\overline{x}=148{,}5$ g. Basta calcular los cuatro centros y las cuatro semiamplitudes:

Intervalo	Centro	Semiamplitud	$z_{\alpha/2}$	Confianza (1) $(147{,}971;\ 149{,}029)$	148,5	0,529	1,96	95 \% (2) $(147{,}871;\ 149{,}129)$	148,5	0,629	2,33	98 \% (3) $(149{,}371;\ 150{,}629)$	150	0,629	—	imposible (4) $(148{,}057;\ 148{,}943)$	148,5	0,443	1,64	90 \%

El $\textbf{(3)}$ es imposible: está centrado en 150 g, y ningún intervalo construido con esta muestra puede estarlo, porque su media es 148,5 g.

Para los otros tres, el valor crítico se obtiene dividiendo la semiamplitud entre el error estándar,

$\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{2{,}7}{\sqrt{100}}=0{,}27$

Así, $0{,}529/0{,}27=1{,}96$, $0{,}629/0{,}27=2{,}33$ y $0{,}443/0{,}27=1{,}64$.

El de mayor nivel de confianza es el $\textbf{(2)}$, el más ancho de los tres. Su valor crítico, $z=2{,}33$, cumple $F(2{,}33)=0{,}99=1-\alpha/2$, de donde $\alpha=0{,}02$ y el nivel de confianza es del $\textbf{98 \%}$.